수학의 정석

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[차현우] 기본편 미적분 (2018) - 치환적분과 부분적분
연습문제 (1번)_00:27:22

질문할 점은 적분할때 분모분자에 같은 값을 곱할 때 e^x처럼 항상 양수인 값만 곱할 수 있는 건가요?? ex) 1-cosx이런거는 분모 분자에 곱하면 안되는 건가요? (연습문제 14-1-14) 라고 질문드렸는데 연습문제 14-1의 14번은 1-cosx를 곱해도는 되지만 곱하면 적분을 하지 못하는 형태가 나온다고 답변을 받았습니다. 그래서 강의에서 해주신 풀이로도 풀어보고 1-cosx도 분모 분자에 곱해서 풀어봤는데 1-cosx를 분모 분자에 곱하면 csc^2x-cosx/sin^x가 나와서 각각 적분이 가능한 형태로 나와서 적분을 했는데 나온 답을 도무지 강의에서 풀어주신 풀이의 답과 같게 할 수가 없는 것 같은데 그러면 1-cosx는 곱하면 안되는 것이 아닌가요? ㅠㅠ p.s. 2월 10일에 질문드린것도 답변부탁드립니다 매번 감사드립니다

죄송합니다. 1-cosx를 곱하더라도, 복잡하기는 하지만 주어진 값을 도출할 수 있습니다. ʃ (csc²x-cosx/sin²x) dx= -cotx+1/sinx+C=(1-cosx)/sinx+C·······① 이때, 1-cosx= 2sin²(x/2)이고, sinx=2sin(x/2)cos(x/2)임을 이용해 봅시다. 그러면 ①의 식은 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)cos(x/2)+C로 나타낼 수 있고 분모, 분자를 2sin(x/2)로 나누면 sin(x/2)/cos(x/2)+C=tan(x/2)+C로 나타낼 수 있습니다. p.s 2월10일날 질문하신 것에 대한 답변은 곧 드리겠습니다. 감사합니다.

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