수학의 정석

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[소순영] 기본편 수학 II (2018) - 정적분으로 정의된 함수
기본문제 11-3 (2)

잘 이해가 안되는 점이 (절댓값 x^2-4)의 부정적분은 -2와 2를 기준으로 식이 달라지는데 예를 들어 x^2-4=f(x)라고 하고, f(x)의 한 부정적분을 F(x)라고 했을 때, 2가 3-h와 3+h 사이에 존재한다고 해보면 3-h에서 3+h까지 (절댓값 x^2-4)의 정적분은 {F(2)-F(3-h)}-{F(3+h)-F(2)}가 가 되어서 결국 2F(2)-F(3-h)-F(3+h)가 되는데 이를 문제의 식에 대입하면 풀리지가 않습니다. 이렇게 생각하면 (절댓값 x^2-4)의 부정적분은 -2와 2를 기준으로 식이 달라지는데 어떻게 그냥 (절댓값 x^2-4)의 부정적분을 하나의 식처럼 놓고 풀어도 되는건지 잘 이해가 안됩니다 ㅠㅠ 그래서 저는 문제를 풀 때 (절댓값 x^2-4)의 부정적분은 -2와 2를 기준으로 식이 달라지지만, h가 0에 한없이 가까워지는 수 이므로 부정적분은 3이 속한 범위 즉 x>2인 범위에서의 부정적분으로 생각하면 식이 하나로 정해지기 때문에 부정적분을 F(x)+c로 나타내고 이후에는 모범답안의 풀이 과정의 방법으로 풀면 된다고 생각했습니다. 이후에는 모범답안의 풀이 그대로 풀었지만 하나 다른 점은 h가 0에 한없이 가까워지는 수 이므로 3-h에서 3+h까지 (절댓값 x^2-4)의 정적분을 3-h에서 3+h까지 x^2-4의 정적분으로 놓고 풀었고, 그래서 답을 구할 때 (절댓값 x^2-4)가 아니라 x^2-4에 3을 대입해 풀었습니다. 제가 이해한 과정중에 틀리거나 부족한 부분이 있으면 알려주시면 감사하겠습니다!!

안녕하세요 질문에 대한 관련 답변입니다. h가 0으로 가까이 가므로 h는 무한히 작은 값으로 봐야 합니다. 따라서 3-h >2 , 3+h >2 이므로 결국 x^2-4=f(x)라고 하고, f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 할때 F(3+h)-F(3-h )= 10h +2/3 h^3 이므로 h로 약분하면 10+2/3 h^3 이므로 극한값은 10이 나옵니다. 예를들어 쉬운 예인 limit h-> 0 1/h 인테그랄 2-h , 2+h (절대값 x-2) dx 를 두 범위로 나누어서 풀어보고 모범답안의 풀이처럼 풀어보세요. 부정적분 F(x) 는 연속인 함수이므로 어떻게 풀든 같은 값이 나옵니다.

안녕하세요!

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