안녕하세요. 평균값의 정리를 이용하려면 끝점에서도 연속이어야 합니다. 연속이 아닐시에는 평균값의 정리가 적용될 수 없는 반례가 존재합니다. 그리고 미분가능성이 열린구간이냐면 f(b)-f(a)/b-a =f'(c) 인 c가 존재하는 범위는 a < c < b 입니다. 그러니깐 끝점에서까지 미분가능할 필요가 없기떄문에 열린구간인 것입니다.