| [차현우] 실력편 확률과 통계 (2014) - 순열 |
| 원순열 한번만 더 질문할게요 |
고정시키는 방법을 확실하게 알고 싶어서 다시 질문드려요 고정시킬 수 있는 대상은 반드시 구별되는 상황에서만 가능한 것인가요? 그러면 만약에 구별되는 상황이 아닌 같은 것을 배열하는 경우에는 원순열문제를 풀 때에 고정을 해서 문제를 풀 수는 없는건가요?? 이를 테면요, 남학생 4명과 여학생 3명을 원탁에 앉히는데 남학생 4명이나 여학생 3명이나 사람은 모두 다르기때문에 이 경우에는 구별이 되므로 아무나 고정을 시킨다음 문제를 풀 수가 있는건가요? 지난번에 질문했던 실력편문제 2-22의 경우에 문제를 살짝 변형해서 검은구슬 6개, 흰구슬 4개 붉은구슬 3개(원래문제는 1개죠) 인 경우에서 원형으로 나열하는 방법을 구하게 되면 이 경우에는 문제에서 같은 색의 구슬은 구분을 할수 없다고 했으므로 고정시키는 관점에서 접근할 수는 없습니까?? 그냥 이 경우에는 n개의 물건을 원형에 나열하는데 겹치는 경우가 n가지 있으므로 n!/n= (n-1)!로 생각하여 풀어야 되나요?? 말이 길었습니다.. 이해할 수 있게 조금만 자세히 설명 부탁드립니다. |
1. 남4/여3 의 경우 서로 모두 구별되기 때문에 모두 고정하고 나머지를 원순열하여도 무방합니다.
2. 일단 그렇습니다.
다른내용들을 좀 추가해야 합니다만, 샘이 강의시간에 한 것처럼 하나를 고정하고 나머지를 배열하는
단순한 풀이로는 풀기가 쉽지 않습니다.
엄밀하게는 같은것이 있는 원순열 이라는 주제는 고교 교육과정이 아닙니다.
고교 교육과정은 서로 다른것을 배열하는 원순열입니다.
따라서 서로 다른것을 다루는 일반적인것을 다루는것을 기본으로 해 주시고
정석 문제처럼 특별한 형태들을 연구하면서 수학적 사고력을 조금씩 쌓아나가는것이 좋겠습니다.
그런의미에서 지금 이러한 질문은 아주 의미있고 좋은 공부과정이라 생각합니다.
3. 같은것이 있는원순열 문제를 푸는방법은 단순히 같은것이 있는 갯수로 나누는것이 아닙니다.
전체적인 모양의 대칭성을 통해서 중복되는부분을 나눠줘야 하는데
질문한 문제는 상황이 너무 복잡하므로 간단하게 이야기해서
흰2 검2 가 있는 공을 배열하는방법은
1) 서로다른 흰공2 검은공2 의 선형배열 4!
2) 서로다른 4개공의 원순열 3!
3) 흰2 검2 의 선형배열 4!/2!2! (같은것이 있는순열)
4) 흰2 검2 의 원순열 2가지 ( 흰/흰이 붙어 있는경우와 떨어져있는경우)
이 중 4)의 경우를 2)를 이용한 수식으로 표현하면 3!/ 3 꼴입니다만 이런식으로 풀어내지 않습니다.
먼저 대칭성을 통해서 흰공을 배열합니다.
배열하는방법은 서로 마주보거나 붙어있거나 (2가지)
그리고 나머지 검은공을 배열합니다. (1가지)
공이 3종류 이상인경우도 그렇습니다 공한 종류를 먼저 배열하고 나머지를 그 사이에 끼워넣고
대칭성을 통해서 서로다른것을 가려냅니다.
설명이 좀 길었습니다만 정석교재의 문제를 샘이 푼 풀이방법말고 공 한 종류를 흰/또는검 배열하고 나머지를 끼워넣는방법으로 풀어보세요.
열공하세요!
차현우쌤- |
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