수학의 정석

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[차현우] 실력편 미적분I (2014) - 방정식ㆍ부등식과 미분
질문이요

연습문제9-8에서 n이 홀수일때 왜 x=0에서 극값이 아닌가요?

n의 짝 홀에 상관없이 f'(x) 를 인수분해하면 다음과 같습니다. f'(x) = x^n-1 { n - (n+1)x } 그런데 이를 증가감소를 구해보면 f'(x) =0 이되는값은 x=0 , x= n/n+1 이 됩니다. x=0 의 값 좌우에 f'(x) 의 부호가 바뀌면 극값이 됩니다만, n이 홀수가되면 x^n-1 에서 지수는 짝수가 되고 0보다 크건 0보다 작건 항상 양수가 되므로 0 좌우에서 f'(x)의 부호는 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다. 반면에 n이 짝수이면 n-1제곱은 지수가 홀수이므로 좌우에서 부호가 바뀌게 되구요. 실제 근의 개수는 극한이 얼마가 되는지만으로도 충분히 확인할 수 있습니다. 열공하세요!

안녕하세요!

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