수학의 정석

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[소순영] 기본편 수학 I (2014) - 항등식과 미정계수
계수가 정수인 일차 인수 (질문)

x의 다항식 f(x) = x^5 - ax - 1이 계수가 정수인 일차 인수를 가지도록 정수 a의 값을 정하고, f(x)를 인수분해하여라.

여기서 이해 안가는 게 몇가지 있는데,
(1) 계수가 정수인 일차 인수를 가진다라는 것이 무슨 뜻인가요?
(2) 해답지에서는 상수항이 -1이기 때문에 일차 인수가 있다면 그것이 x - 1 또는 x + 1뿐이라는 데 왜 그렇게 되는 건가요?? (참고로 수학의 정석 1권 연습문제 4 - 19번입니다.)
(3) f(1) = 1 - a - 1 = 0 부터 그 밑에 있는 모든 풀이과정이 사실 전부 이해가 가지 않네요...
특히 이때, 하고 나서 밑에 있는 식들이 가장 이해가 가지 않아요..

안녕하세요. 질문할때, 연습 4-19 라고만 쓰면 되지, 문제를 힘들게 다 적을 필요는 없습니다. 질문에 대한 답변입니다. 계수가 정수인 일차인수 라는 것은 말 그대로 모든 계수가 정수로 된 일차인수를 갖는다는 것입니다. 예를들어 3x+5 는 계수가 정수인 일차인수이고, 1/2x+1 는 계수가 유리수인 일차인수입니다. 다항식에서 계수가 정수로 된 일차인수를 갖을 수 있는 조건은 상수항의 계수의 약수 / 최고차항의 계수의 약수 를 근으로 가질 때, 입니다. x^5 - ax - 1에서 최고차항의 계수는 1, 상수항의 계수는 -1 이므로 1또는 -1 을 근으로 가져야 합니다. 즉 (x+1) 또는 (x-1)을 인수로 가져야 합니다. (3) 의 답변은 조립제법을 이용한 인수분해 방벙을 이용하면 쉽게 인수분해 할수 있습니다. 조립제법 하는 방법은 60쪽에 소개되어있습니다.

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