고2 올라가는 학생입니다.

유제 4-4의 소순영쌤의 풀이에 대해 궁금한 점이 있습니다.

기본문제 4-4와는 달리 이 유제의 경우 x가 1에 한없이 가까워질 때 g(x)가 수렴하지 않고 양 또는 음의 무한대로 발산하는 것으로 압니다(상수/무한소 꼴).
물론 f(x)는 다항함수이므로 x가 1에 한없이 가까워질 때 수렴하고 그 극한값은 f(1)=a+b+1이구요.

그런데 선생님은 x가 1에 한없이 가까워질 때 f(x)g(x)의 좌극한과 우극한 값이 같다는 등식에서 바로 f(x)와 g(x)의 극한값을 곱한 식으로 변형하신 후(0x베타=0x알파) 설명에 따라 f(1)=a+b+1=0이 된다고 하셨습니다.

그런 식변형은 함수의 극한의 기본 성질 (3)에 근거한 것으로 압니다만 46page를 참고하면 그 전제조건이 f(x)와 g(x)가 모두 x가 어떤 값에 가까워질 때 수렴하여 극한값을 가지는 것이라고 소순영 선생님께서 가르치셨습니다.

근데 g(x)가 발산하는 상황에서 어떻게 바로 극한값만의 식으로 나타내신 것인지 이해가 가지 않습니다. 그런 문제점 때문에 정석 책에도 기본문제에서는 선생님이 설명하신 방법을 쓰다가 유제에서는 연속의 정의를 이용하여 식을 세운 후 3단원의 미정계수 결정을 통해 문제를 해결하는 풀이를 쓴 것 아닌가 생각합니다. 제가 생각하는 문제점이 잘못된 것이라면 그 이유를 설명해 주시길 부탁드립니다.

그리고 이건 선생님의 풀이를 어떻게든 이해하려다보니 든 생각인데, 이 경우 g(x)의 좌극한이 음의 무한대, 우극한이 양의 무한대인데, 극한값의 성질과는 별개로 양의 무한대와 음의 무한대에 각각 어떤 것을 곱해서 그 둘의 값을 같게 만드려면 0을 곱해야 한다고 말할 수 있을까요(직관으로)? 된다면 이때의 0은 무한소인가요, 상수 0인가요?

생각을 오래하다 보니 궁금한게 많아져서 횡설수설했네요. 제가 한 말에서 꼭 정답과 연결되지 않더라도 개념의 오류가 보이면 꼭 지적해 주세요^^ 항상 감사합니다!!