<유제 4-4>

1. 아무래도 제가 필력이 모자란 것이 문제인 것 같아 먼저 죄송하다고 말씀드립니다ㅜㅜ 제가 드린 질문은 선생님께서 x가 1에 한없이 가까워질 때 f(x)g(x)의 좌극한=우극한의 등식을 이용한 것이 아닌, 'lim f(x)g(x) = lim f(x)g(x)'를 바로 '0*베타=0*감마'꼴로 바꾸신 행동(lim 밑의 첨자는 왼쪽부터 x→1+, x→1- 이고, 베타와 감마는 각각 g(x)의 우/좌극한값, 그리고 0은 서로 다른 베타와 감마를 같게 만들기 위한 f(x)의 극한값이라 설명하셨습니다.)이 이해가 가지 않는다는 것이었습니다. 정석 46page 내용도 연속에 대해 묻는 것이 아니라, 함수의 곱의 꼴의 극한값을 각각의 극한값의 곱으로 나타내기 위해서는 두 함수가 모두 수렴할 때여야 한다는 내용입니다. 하지만 이 경우 베타는 양의 무한대, 감마는 음의 무한대이기 때문에, 좌극한이든 우극한이든 f(x)g(x)의 극한을 극한값의 곱으로만 나타낼 수 없다고 생각한 것입니다. 기본문제 4-4에도 'f(b+1)*2 = f(b+1)*1'의 변형을 하지만, 이 경우는 g(x)의 우/좌극한이 각각 상수의 값(2와 1)을 가지기 때문에 가능하다고 생각합니다. 추가 지적 부탁드려요.

2. 저는 g(x)의 좌극한인 감마가 음의 무한대, 우극한인 베타가 양의 무한대이므로 둘을 같게 하려할 때 각각에 0을 곱하면 되는가 하는 질문이었습니다. 그리고 그 0이 무한소인지 상수인지도요. 즉, '무한소*∞ = 무한소*-∞'와 '상수 0*∞ = 상수 0*-∞'의 성립 여부를 여쭌 것입니다. 그런데 답변해주신 g(x)=0이 되어야 한다는 것과 무한소면 x=1일 때 g가 연속이 아니므로 f(x)g(x)가 연속이 될 수 없다는 것이 제 질문의 답이 될 수 있다는 것이 이해가 잘 되지 않습니다. 보충설명 부탁드립니다.

<합성함수의 극한>

첫번째 질문의 답이 두번째 질문의 답이 된다 하셨는데 영 아리송해서... 모든 실수일 때를 전제로 하신 말씀이라는 뜻은 f와 g가 각각 1과 2에서 불연속, 즉 모든 실수일 때 연속한 것은 아니므로, '1과 2를 제외한 구간에서 두 함수 모두 연속이니 그것들을 합성한 함수도 연속이다'라는 말이 잘못되었다는 건가요?