수학의 정석

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[원정희, 차현우] 실력편 미적분II (2014) - 극대 · 극소와 미분
변곡점의 기하학적 의미

문제 15-25에서 선생님께서 역함수의 미분법에 의하여 f의 도함수는 3이상 이라고 설명하셨는데요,

문제에서 f는 증가함수임을 알 수 있고 이때 접선의 기울기가 최소가 되는 곳은 변곡점이므로,

f의 변곡점에서의 접선의 기울기가 3이라고 놓고 풀이를 하면 답이 바로 구해집니다.

그런데 이 풀이가 변곡점의 기하학적 정의에 입각하여 푼 것인지, 제 접근법이 지나친 일반화인지 알고 싶습니다.

변곡점의 기하학적 정의는 기울기 관점에서 어떻게 되나요?

가능합니다. 3차함수는 실제로 많은 제한 조건들이 있습니다. 간단하게 3차함수는 변곡점에 대해서 모든 함수가 대칭입니다. 이 때문에 다른 번거로운 계산을 할 필요없이 직관적인 풀이가 가능합니다. 접선의 기울기는 2차함수가 되는데 접선의 기울기가 최소일 때가 이차함수의 꼭짓점이고 이 점이 3차함수의 변곡점이므로 이를 통해서 문제를 해결할 수 있습니다. 변곡점은 정확하게 기하학적으로 정의되는것이 아니라 도함수의 증가감소가 바뀌는점으로 정의됩니다. 마치 극대나 극소가 정의될 때 처럼요... 따라서 기하학적인 의미는 결과나 성질 정도로 이해 해 주세요 ^^ (대학과정에서 극값도 사실 주위값보다 작지않은, 크지않은... 으로 정의됩니다. 강의시간에 잠깐 언급했지만 고교과정은 미분가능한 경우만을 다루므로 이를 통해서 해결 해 주세요. )

안녕하세요!

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