결과부터 얘기하면 반드시 정의역의 모든 범위 내에서 증가 함수일 필요는 없습니다. 감소 함수여도 상관은 없습니다. 우선 역함수라는 개념에 대해서 생각을 해보면 y=f(x)일 때 x=g(y)가 되는 함수 g를 f의 역함수라고 하고 보통 f^(-1)라는 표현을 많이 사용합니다. 예를 들어서 f(1)=0이고 f(2)=0이라고 생각해봅니다. 이 때 f의 역함수 g가 존재한다고 생각하면 g(0)=1, g(0)=2라고 나올 수 있는데 x의 값은 0 하나 뿐인데 g(0)의 값이 두가지가 나오고 이것은 함수가 아닙니다. 그렇기 때문에 반드시 어떤 함수가 1:1대응이 되어야 역함수가 존재하게 됩니다. 즉 y=f(x)라는 함수에서 어떤 정의역 내에 있는 실수 a, b에 대하여 f(a)=f(b)라면 반드시 a=b여야만 합니다. 그런데 이때 어떤 함수가 정의역 내에서 단순히 증가하거나 단순히 감소하는 것이 아닌 증가 감소가 모두 있는 함수라고 생각을 해보면 1:1 대응인 함수가 아니게 됩니다. 예를 들어서 y=f(x)=x^2, 정의역은 실수 전체라고한다면 이 함수는 x<0에서는 감소하고 x>0에서는 증가하는 함수입니다. x=1, x=-1인 점들에 대해 생각 해보면 f(-1)=f(1)=1입니다. f(1)=f(-1)인데 1=-1은 아닙니다. 따라서 함수 f는 역함수가 존재하지 않는 함수입니다. 참고로 이 때 정의역의 범위를 조정하여 역함수가 존재하도록 할수도 있습니다. y=f(x)=x^2, 정의역은 x>0이라고 하면 1:1 함수가 되므로 이것은 역함수도 존재하게 됩니다.