한 점 P(a,b)에서 y=f(x)의 그래프로의 최단 거리에 대해 생각을 해봅니다. 식으로 증명을 해보면 y=f(x)위의 임의의 한 점을 A(t,f(t))라 하고, 두 점 사이의 거리의 제곱을 g(t)라고 하면 g(t) = (t-a)^2 + {f(t)-b}^2 이 됩니다. 이 때 g`(t) = 2(t-a) + 2f`(t){f(t)-b} 가 되는데 이 때 g(t)가 최소가 되는 점은 g`(t) = 0 이므로 해당 식을 정리해보면 b = {-1/f`(t)}(a-t) + f(t)가 됩니다. 이 때 A(t,f(t))에서의 법선의 방정식이 y={-1/f`(t)}(x-t) + f(t)가 되는데 이 법선의 방정식에 (a,b)를 대입했을 때 성립한다는 말이므로 법선의 방정식이 (a,b)를 지나는 t에 해당하는 점 A(t,f(t))와 P(a,b) 사이의 거리가 y=f(x)와 P 사이의 최단 거리가 됩니다. 따라서 y=f(x)의 그래프 위의 어떤 한 점에서의 법선이 P와 만날 때 두 점 사이의 거리가 됩니다. 이 때 y=x^2과 y=-(x+8)^2 - 1의 두 그래프 사이의 거리는 y=x^2 위의 한 점에서의 법선과 y=-(x+8)^2 - 1 위의 한 점에서의 법선이 일치할 때가 됩니다. 그런데 이 경우 두 그래프가 한 점에 대해서 대칭입니다. 두 그래프의 법선이 일치하기 위해서는 해당 법선이 대칭점을 반드시 지나야만 합니다. 이 문제에서 사용되는 법선의 성질에 대해서는 잘 알아두면 여러 문제에서 응용가능하기 때문에 잘 알아두는 것이 좋습니다.