이 문제에 대해서 생각하기 전에 역함수의 조건에 대해 먼저 생각해보겠습니다. '함수'라고 하는 것은 정의역 내의 어떤 값에 대하여 공역 내의 어떤 값 하나에 대응되는 것입니다. 문자를 통해 생각한다면 '임의의 x값에 대하여 하나의 y값에 대응'해야만 합니다. 이 조건을 통해 역함수를 가질 수 있는 함수의 조건에 대해서 생각해보면 역함수를 가지기 위해서 그 함수는 반드시 1:1 대응인 함수여야 한다는 말입니다. 그런데 그 1:1 대응인 함수가 되려면 어떤 함수가 단순히 증가하거나 단순히 감소해야만 합니다. 예를 들어 f(x)=x^2이라는 함수에 대해서 생각하겠습니다. 이 함수의 정의역은 실수 전체라고 생각합니다. 이 경우 y=f(x)라는 함수는 x<0인 구간에서는 감소하다가 x>0인 구간에서는 증가합니다. 그래서 f(1)=f(-1)=1입니다. 이 때 f의 역함수가 존재하고 그 함수를 g라고 생각을 해보겠습니다. 이 때 f(a)=1이 될 수 있는 a값에 대해 g(1)=a가 됩니다. 그런데 a가 될 수 있는 값은 -1, 1. 두 개가 됩니다. 함수 g에 대해서 1이라는 값을 대입했을 때의 함수값이 2개가 나오게 되니 이것은 함수가 아니게 됩니다. 즉 증가구간과 감소구간이 모두 존재하는 함수의 경우, 1:1 대응이 아니게 되므로 역함수가 존재할 수 없습니다. 그래서 역함수가 존재하기 위해서는 단순 증가함수 이거나 단순 감소함수여야만 하는 것입니다. 이제 이 문제로 되돌아오겠습니다. 삼차함수 f(x)의 역함수가 g(x)라고 했습니다. 역함수가 존재하기 때문에 f(x)는 단순 증가함수거나 단순 감소함수여야 합니다. 그런데 최고차항의 계수가 1이기 때문에 이 함수는 단순 감소함수는 될 수 없습니다. 따라서 이 함수는 단순 증가함수가 되어야 합니다. 단순 감소함수라는 모든 구간에서 증가하여야 하므로 모든 값에 대하여 f`(x)>0이어야 하는 것입니다.