1, 2번은 식으로 따질 경우 굉장히 좋은 방법입니다. 1번을 예로 들면 판별식은 반드시 따진 후에, 두 근 α, β에 대하여 α>2, β>2이고, α-2>0, β-2>0입니다. 이 때 두 실수 p, q에 대하여 p>0, q>0이면 p+q>0, pq>0인데, 반대로 p+q>0, pq>0이여도 반드시 p>0, q>0도 성립하게 됩니다. 따라서 이 내용을 이용하여 구한 1번, 비슷하게 이용한 2번은 좋은 방법입니다. 3번을 생각할 때, 근과 계수의 관계가 약간 잘못된 것 같네요. ax²+bx+c=0이라는 방정식의 두 근을 α, β라고 할 때, α+β = -b/a, αβ = c/a입니다. a=1이라는 것을 감안하더라도 α+β = -b, αβ = c이 됩니다. 이제 이런 경우에 대하여 조금 일반화 하여 생각해보겠습니다. 이 때, 두 근 α, β에 대하여 (α-2)(β-2)<0이라고 하겠습니다. (α-2)(β-2) = αβ - 2(α+β) +4 = c/a + 2b/a + 4 < 0인데, 이 문제처럼 a>0인 경우 c+2b+4a<0이 되고 -c > 4a+2b입니다. 그리고 a>0이라고 했으므로 -4ac > 4a(4a+2b)입니다. 이 때, D = b²-4ac > b² + 4a(4a+2b) = b² + 8ab + 16b² = (b+4a)² ≥ 0이라는 식이 성립하게 됩니다. 즉 두 근 사이에 2라는 값이 있다는 조건만을 생각해도 굳이 판별식을 따지지 않아도 반드시 판별식이 0보다 크거나 같다고 할 수 있습니다. 이것은 2라는 값에 대해서만 성립하는 것이 아닙니다. 두 근이 있다고 가정을 했을 때, 두 근의 사이에 어떤 특정한 값이 있다는 조건이 존재한다면 두 근 사이에 특정한 숫자가 있다는 조건만을 생각하더라도 판별식은 반드시 0이상이라고 할 수 있습니다. 참고로 a<0일 때는 c+2b+4a>0이라는 조건을 이용하여 따져보면 증명할 수 있습니다. 또한 이 때 나오는 4a+2b+c라는 값의 경우 f(x) = ax²+bx+c 라는 함수에서 f(2)의 값이 되고, a>0일 때는 f(2)<0이라면 반드시 해당 조건을 만족하는 함수의 그래프가 나오고, 마찬가지로 a<0일 때는 f(2)>0이라면 마찬가지로 조건을 만족하는 함수의 그래프가 나옵니다. 이 내용을 기억해두었다가 나중에 이차함수에 대한 내용을 다룰 때 조금 더 생각해보길 바랍니다^^