언제든 어려운 부분이 있다면 질문해주세요^^ 1. 극값이라는 것은 어떤 값의 증감이 변하는 부분입니다. 증가하다가 감소한다면 그 증감이 변하는 점에서 극댓값이고, 감소하다가 증가한다면 증감이 변하는 점에서 극솟값이 됩니다. 그런데 미분 가능한 함수의 경우, 그 값에서의 미분 계수가 양수이면 증가, 음수이면 감소하는 상태입니다. 이 때 미분 가능한 함수는 미분했을 때의 함수가 연속이므로 양수값에서 음수값 혹은 음수값에서 양수값을 가지기 위해서는 반드시 0의 값을 가져야만 합니다. 그리고 이 미분계수가 0인 점에서 증감이 바뀌므로 이 점이 극값이 되는 것입니다. 그래서 f(x)의 증감이 변하는 점, 즉 f'(x)의 부호가 변하는 점을 찾아내기 위해서 a의 범위를 나누는 것입니다. 모든 미분계수가 0인 점이 극점은 아니지만, 미분 가능한 함수의 극점이 되기 위해서는 적어도 해당 점에서의 미분계수가 0이어야 합니다. 따라서 f'(x)=0이 되는 x값이 존재하도록 a값의 범위를 나누는 것을 기본적으로 생각해야 합니다. -1≤sinx≤1이므로 -a≤asinx≤a입니다. (∵a>0) 그리고 -a≤-asinx≤a, 1-a≤1-asinx≤1+a입니다. 이 때 1-asinx의 최댓값인 1+a와 최솟값인 1-a의 사이에 0이 있어야만 1-asinx의 부호가 바뀌는 x값이 존재하게 됩니다. 따라서 (1-a)(1+a)<0이라는 식을 풀게되면 a>1 또는 a<-1이어야 하는데 a>0이므로 a>1일 때만 f(x)가 극점을 갖게 되는 것입니다. 2. 마찬가지로 f(x)가 극값을 갖기 위해서는 f'(x)의 부호가 바뀌는 점이 존재해야만 합니다. f'(x) = a + 2cosx 인데, f'(x) = a+2cosx=0이라는 방정식을 변형해보면 cosx=-a/2라는 식이 나오고 이 때, 해당 식의 해가 존재하기 위해서는 -1≤cosx≤1이므로 -1≤-a/2≤1이라는 범위에 있어야만 하고, 결국 이 말은 |a/2|≤1이어야 한다는 말과 같습니다. 이 때, |a/2|=1이 되는 경우 f'(x)의 부호가 계속 양수이다가 0은 되지만, 음수가 되지는 않으므로 문제의 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 |a/2|<1이 되어야 합니다.