f(x)=ax²+bx+c=0이라는 이차방정식에서 임의의 두 상수 p, q에 대해 f(p)×f(q)<0인 경우 따로 판별식을 따지지 않아도 됩니다. 애초에 이차방정식의 판별식이라는 것은 근의 존재유무와 개수를 따지기 위해서 사용하는 식입니다. 그런데 중간값의 정리에 의해 p와 q 사이의 r이라는 상수에 대하여 f(r)=0인 r이 존재하므로 이미 이차방정식의 근이 존재한다는 것을 알 수 있기 때문입니다. 이것을 식으로 표현해보겠습니다. a>0이고, f(p)>0, f(q)<0인 경우로 가정하겠습니다. (f(p)<0, f(q)>0인 경우도 같습니다.) f(q) = aq² + bq + c < 0이므로 -c > aq² + bq입니다. 이 때, a>0이므로 -4ac > 4a(aq²+bq) = 4a²q² + 4abq 입니다. 따라서 D = b² - 4ac > b² + 4abq + 4a²q² = (b+2aq)² ≥ 0이므로 D>0이 됩니다. a<0인 경우도 마찬가지입니다. f(p)>0인 경우로 가정해보면 f(p) = ap² + bp + c > 0이므로 -c < ap² + bp인데, a<0이므로 -4ac > 4a² + 4abp 입니다. 따라서 D = b² -4ac > b² + 4abp + 4a² = (b+2p)² ≥ 0 이므로 D>0이 됩니다.