1-tan²x < 0이라면 1/(1-tan²x) <0이 되기 때문에 1-tan²x >0이라는 조건이 있어야 합니다. 마찬가지로 tanx<0일 때, 1/(1-tan²x) <1 이어야 하는데, 1-tan²x<0이면 1/(1-tan²x) < 0 < 1이 되어 해당 조건을 만족하기 때문입니다. 사실 이런 방식의 부등식 문제를 풀 때는 굳이 부호를 나누는 것보다는 한쪽으로 모두 이항시키고 나머지 한 쪽을 0으로 만드는 방법이 가장 정확합니다. 이 문제의 경우 2tanx/(1-tan²x) > 2tanx라는 처음의 부등식에서 우변의 2tanx를 좌변으로 이항하면 2tanx{1/(1-tan²x) - 1} = 2tanx × {1-(1-tan²x)}/(1-tan²x) = 2tanx × tan²x/(1-tan²x) = 2tan³x/(1-tanx) > 0이라고 정리를 합니다. 이제 양변에 분모의 제곱인 (1-tan²x)²을 곱하는데 1-tan²x≠0이면 이 식은 반드시 양수이기 때문에(제곱을 했기 때문에) 부등호의 방향은 변하지 않습니다. 따라서 곱하면 2tan³x(1-tan²x) > 0이라는 식이 나오게 되고, 이 식을 삼차부등식의 풀이를 이용하여 풀면 굳이 처음부터 tanx의 범위를 나누지 않고 tanx의 범위를 정확하게 나타낼 수 있습니다.