√(x²+1) + x와 x+√(x²+1)는 더하는 순서만 다를 뿐 같은 식입니다. 만약 √(x²+1) -x 때문에 그렇다면 x-√(x²+1)가 아니라 √(x²+1) -x가 맞습니다. 우선 (√a-√b)² = a+b - 2√ab이므로 √(a+b-2√ab) = |√a - √b| 라고 할 수 있습니다. 여기서 절댓값이 붙는 이유는 임의의 0이상의 실수 a에 대하여 √a 의 경우 반드시 양수이기 때문입니다. 우선 제곱근의 정의에 대해서 생각해보면, x²=a가 되도록 하는 x의 값이고, 이 경우 a가 음수이면 실수 x가 존재하지 않기 때문에 √a라는 것을 정의할 때는 a≥0이라는 조건이 들어가게 되는 것입니다. a≥0이면 x²=a를 만족하는 수는 두 개가 존재하는데 하나는 양수이고, 하나는 음수입니다. 이 때, 양수인 것을 √a, 음수인 것을 -√a라고 하는 것이 정의입니다. 따라서 어떤 것에 루트를 씌운 것은 반드시 0 이상의 값 또는 식이 나와야 합니다. 이 문제에서는 √{(x²+1)-x}² = |√(x²+1) - x| 가 되고, √(x²+1) - x ≥0이라면 |√(x²+1) - x| = √(x²+1) - x이고, √(x²+1) - x<0이라면 |√(x²+1) - x| = -(√(x²+1) - x) = x- √(x²+1) 가 됩니다. 따라서 √(x²+1)와 x의 크기를 비교해야 합니다. 임의의 x에 대하여 x²≥0이고, x²+1≥1>0이므로 √(x²+1)>0이라고 할 수 있습니다. √(x²+1)는 반드시 양수이기 때문에 x가 음수라면 √(x²+1) > 0 > x이므로 √(x²+1)>x입니다. x가 0이상인 경우를 생각해보겠습니다. 임의의 두 양수 A, B에 대하여 A² - B² > 0이면, (A+B)(A-B) >0인데, 이 때, A>0, B>0이므로 A+B>0이고, 따라서 A-B>0, A>B라고 할 수 있습니다. 따라서 √(x²+1)와 x를 제곱해서 계산해보면 (√(x²+1))² - x² = x²+1 - x² = 1 >0이므로 √(x²+1)>x입니다. 따라서 x에 값에 관계 없이 항상 √(x²+1)>x라고 할 수 있고, √{√(x²+1) - x}² = |√(x²+1) - x| = √(x²+1) - x라고 할 수 있습니다.