우선 함수 f(x)의 경우 x=1을 기점으로 식이 바뀌는 함수입니다. f(x) 자체도 x=1에서 불연속인 함수입니다. 이러한 문제의 경우 함수의 정의역이 되는 부분에 대한 범위를 생각해봐야 합니다. 또한 합성함수에 대한 극한값을 판정할 때는 함수 안의 함수에 대해서도 그 함수가 어느 값으로 가는지, 해당 값보다 큰 값에서 가는지 작은 값에서 가는지를 판정해야합니다. f(x)의 경우 lim(x→1+)f(x) = 0인데, 여기서 0보다 큰 값에서 0으로 접근한다는 것도 정확하게 판단해야 한다는 의미입니다. 또한 lim(x→1-)f(x) = 1인데 이 역시 1보다 큰 값에서 1로 접근합니다. 사실 이를 정확하게 판단하기 위해서는 f(x)의 그래프를 직접 그려보는 것이 좋습니다. 이 문제의 경우 f(x)의 그래프를 그리기 편하기 때문에 반드시 그래프를 그려보는 것을 권장합니다. 이제 문제로 들어가보겠습니다. 함수 g(x)의 경우 x=0을 기점으로 식이 변하는 함수입니다. 따라서 x=0에서의 연속성 여부를 따져야 합니다. lim(x→0+)g(x) = lim(x→0+)f(f(x)) = lim(t→2+0) f(t) = 1이고, lim(x→0-)g(x) = lim(x→0-)f(-x) = lim(t→0+) f(t) = 2이므로 g(x)는 x=0에서의 좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 x=0에서는 불연속인 것입니다. 이제 x=0을 기점으로 나누어진 각각의 식을 살펴보겠습니다. x<0에서는 g(x) = f(-x)인데 원래 f(x)는 x=1에서 불연속이기 때문에 함수 f 안의 -x가 1이 되는 x값에서의 g(x)도 불연속일 것입니다. -x=1이므로 x=-1이어야 하는데 이 값은 x<0인 범위안에 포함되어 있기 때문에 x=-1에서 불연속이라는 것을 판정할 수 있습니다. 이제는 x>0에서의 식을 따져보겠습니다. g(x) = f(f(x))인데, f(x)라는 함수는 x=1에서 불연속이기 때문에 g(x) 역시 x=1에서의 극한값을 판정해보아야합니다. lim(x→1-)g(x) = lim(x→1-)f(f(x)) = lim(t→1+) f(t) = 0이고, lim(x→1+)g(x) = lim(x→1+)f(f(x)) = lim(t→0+) f(t) = 2이기 때문에 x=1에서는 불연속인 것입니다. 또한 f(x)=1이 되는 값에서도 함수값을 판정해야 합니다. f(x) = 1이 되는 x값은 x=1 또는 x=2입니다. x=1에서는 불연속이라는 것을 판정했기 때문에 x=2에서를 판정해야 합니다. lim(x→2+)g(x) = lim(x→2+)f(f(x)) = lim(t→1-)f(t) = 1이고, lim(x→2-) g(x) = lim(x→2-) f(f(x)) = lim(t→1-) =1, g(2) = f(f(2)) = 1이므로 x=2에서는 연속입니다. 따라서 g(x)는 x=-1, 0, 1에서 불연속인 함수가 됩니다.