| [차현우] 실력편 기하와 벡터 (2014) - 원과 구의 방정식 |
| 필수예제15-4> 질문있습니다 |
점 H의 좌표를 구할 때 평면에 수직이고 점 H를 지나는 직선의 방정식을 구한 후 매개변수를 통해 H의 좌표를 구하는것을 이해햇습니다.필수예제 15-3>을 풀던 방식과 같이 평번의 법선벡터가 (1,-2,2)이고 점 H의 좌표를 (a,b,c)라고 두면 벡터 HC=(1-a,-3-b,4-c)가 나오는데 이것이 법선벡터 (1,-2,2)랑 같다 라고 두면 H의 좌표는 (0,-1,2) 로 답이 나옵니다. 근데 유제 15-6을 이와 같은 방식으로 풀면 벡터 OH=평면의 법선벡터 (2,2,1)이 라고 풀면 점 H의 좌표는 (-2,-2,-1)이 나오는데 이런 결과를 이용해 선분 HO의 길이를 두 점사이의 거리로 풀면 3이 나오는데 실제 두 점 사이의 길이는 5로 결과가 달라집니다. 이 문제의 질문인 D도 이를 통해 풀면 다른답이 나오는데 왜 적용이 안될까요? |
벡터들의 크기를 고려하지 않았기 때문입니다.
15-6에서 평면과 구가 만나서 만들어지는 원의 반지름의 길이가 루트 11이기 때문에 이미 구의 중심과 평면까지의 거리, 즉 벡터 OH의 크기가 5로 결정되어 있습니다. 그런데 법선벡터를 (2,2,1)이라고 하여 그 크기는 3이기 때문에 두 벡터가 같을 수 없습니다.
이러한 상황을 방지하기 위해 사실 두 벡터를 같다고 생각하는 것이 아니라 두 벡터가 평행하다고 생각하고 문제를 풀어나가야 합니다.
H(a,b,c) 이고, 법선벡터 n = (2,2,1)이라고 하겠습니다.
이 때 OH와 n이 평행하고 |OH| = 5, |n| = 3이기 때문에 OH = (5/3)n 또는 OH = -(5/3)n 이라고 쓸 수 있습니다. 이 때 H의 좌표는 2개가 나오는데, 이 중 H가 존재하는 평면 2x+2y+z=d에서 d가 양수가 되도록 하는 H의 좌표가 원의 중심이 됩니다.
사실은 필수 예제 15-4에서도 이러한 방식으로 푸는 것이 더 정확한 방법이기 때문에 정확히 숙지해주시기 바랍니다. |
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