우선 이 내용의 경우 포물선 뿐만이 아닌 모든 미분가능한 함수에 대해서 해당 함수의 그래픠 위의 점 (x,f(x))와 그래프 위에 있지 않은 점에 대해서 항상 성립하는 내용이라는 것을 먼저 알려드리겠습니다. 식을 통해 증명할 수 있습니다. y=f(x) 위의 임의의 점 P(t,f(t)) 와 이 그래프 위에 있지 않은 임의의 정점 C(a,b)에 대해서 PC² = (t-a)² + (f(t)-b)² = g(t)라고 하겠습니다. 이 식의 양변을 미분하면, g'(t) = 2(t-a) + 2×f'(t)×(f(t)-b) 인데, PC의 길이가 최솟값이 될 때, g'(t) = 0이므로, 2(t-a) + 2×f'(t)×(f(t)-b) = 0, f'(t) × (f(t)-b) = -(t-a), f'(t) × (f(t)-b)/(t-a) = -1이라는 식이 나오게 되고, 즉 (t,f(t)) 위에서의 접선의 기울기인 f'(t)와 PC의 기울기인 (f(t)-b)/(t-a) 의 곱이 -1이므로 두 직선은 수직이 됩니다.