이 내용을 식으로 증명하자면, 임의의 n차 다항함수 f(x) = a0 + a1x + a2x² + … + anxⁿ 가 있다고 하겠습니다. 임의의 실수 α에 대해서, lim(x→α) x = α, lim(x→α) x² = α², … lim(x→α) xⁿ = αⁿ 이기 때문에, lim(x→α) f(x) = a0 + a1α + a2α² + … + anαⁿ = f(α) 입니다. 모든 실수 α에 대해서 f(x)가 연속이기 때문에 f(x)는 실수 전체에서 연속이라고 할 수 있으며, 모든 다항함수에 대해서도 연속이라고 할 수 있습니다.