| [차현우] 실력편 미적분I (2014) - 수열의 극한 |
| 젠센 부등식 |
함수 f: R->R 임의의 실수 x,y에 대해 (f(x)+f(y))/2 ≥ f((x+y)/2)이면 이 함수는 아래로 볼록한 함수인가요? 그리고 젠센 부등식은 볼록함수 f에 대해 (a부등식)가 성립한다인데 역으로 '임의의' x1,x2,....,xn과 a1+a2+...+an=1을 만족하는 '어떤' a1,a2,..에 대해 (a부등식)이 성립하면 f는 볼록함수인가요..? 질문을 할 수 있는 곳이 선생님밖에 없습니다.. 이상한 질문해서 죄송합니다. |
우선 {f(x)+f(y)}/2 ≥ f((x+y)/2) 이 성립한다면, 함수 f는 아래로 볼록한 함수입니다.
f''(x) ≥ 0 이면, {f(x)+f(y)}/2 ≥ f((x+y)/2) 가 성립하기 때문에 f''(x) ≥ 0 일 때는 아래로 볼록한 함수라고 할 수 있는 것인데,
사실은 엄밀하게 따진다면, 이 내용이 아래로 볼록한 함수에 대한 정의라고 할 수 있습니다.
따라서 젠센 부등식에 대해서도 해당 내용은 볼록 함수의 정의라고 할 수 있기 때문에 이 방정식을 만족한다면, 볼록 함수라고 할 수 있습니다. |
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