| [차현우] 실력편 미적분I (2014) - 극대ㆍ극소와 미분 |
| 예제 7-4 대칭 |
안녕하세요. 예제 7-4에서의 함수를 f(x)라고 놓으면 왼쪽(또는 오른쪽)부터 점 C까지의 그래프가 f'(x)=0이 되는 부분(x=0, x=2)을 기준으로 반드시 대칭이 되나요? 음.. 함수가 그려진 부분만요. 말로 설명하기가 좀 어렵네요. 이 문제에 한해서가 아니라 모든 함수에 한해서 답변해주시면 감사하겠습니다. 물론 y=x^3같이 증가하기만 하는(또는 감소하기만 하는) 함수는 빼고 증가와 감소를 모두 가지고 있고, 실근만을 가지는(허수x) 함수에 한해서 말씀해주세요. |
네 맞습니다.
조금 더 깉게 들어가면, 극점이 존재하던, 존재하지 않던, 모든 삼차함수의 그래프는 아래에 나온 변곡점(f'(x)의 증감이 바뀌는 지점, f'(x)를 미분한 함수의 부호가 바뀌는 지점) 을 기준으로 대칭인 점대칭 그래프입니다.
사실 이 내용을 증명하기 위한 계산은 조금 복잡하기에 방법만 확인하자면,
f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a≠0) 이라고 하면,
f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2b = 2(3ax+b) 이므로, x=-b/3a 인 점에서 f'(x)의 증감이 변하는데,
f(-b/3a + x) + f(-b/3a - x) = 2f(-b/3a) 가 성립하게 되어, (이 부분의 계산이 조금 복잡합니다.)
임의의 삼차함수 f(x) 는 (-b/3a, f(-b/3a)) 를 기준으로 점대칭인 함수입니다. |
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