P(n,k) = P(n-k,1) + P(n-k,2) + … + P(n-k,k) 를 생각해보겠습니다. n개의 같은 공을 k개의 같은 상자에 모두 1개 이상이 들어가도록 담아야 한다고 생각할 수 있습니다. 우선 k개의 상자에 모두 1개의 공을 넣는다면, 나머지 n-k개의 공들은 어떻게 담더라도, k개의 상자에 모두 1개 이상의 공을 넣는다는 조건을 만족하게 됩니다. 이제부터 n-k개의 공을 상자에 넣어야 하는데, 이 공을 1개의 상자에만 담을 수도 있고(P(n-k,1)), 2개의 상자에 담을 수도 있으며(P(n-k,2), k개의 상자에 모두 분할해서 넣을 수도 있습니다.(P(n-k,k)) 따라서 P(n,k) = P(n-k,1) + P(n-k,2) + … + P(n-k,k)라는 식이 성립하게 되는 것입니다. 두번째 식도 이렇게 생각을 해보면, n개의 공을 k개의 상자에 넣는데, 1개의 공을 1개의 상자에 넣은 후, 이 상자에는 더 이상 공을 넣지않는다고 했을 때, n-1개의 공을 k-1개의 상자에 넣으면 되고, 이제 분할하는 방법은 P(n-1,k-1) 이라고 할 수 있습니다. 또한, k개의 상자에 모두 하나씩 공을 넣으면 공이 n-k개가 남게되고, 이제, 남은 공을 k개의 상자에 분할하면 P(n-k,k) 가 됩니다. 즉, P(n-1,k-1) 은 1개의 공이 들어가는 상자가 있는 것이고, P(n-k,k)는 1개의 공이 들어가는 상자가 존재하지 않도록 분할하는 것이 되어, P(n,k) = P(n-1,k-1) + P(n-k,k) 라고 할 수 있습니다.