우선 닫힌 구간이란 양 끝 값을 포함하는 범위이고, 열린 구간은 양 끝 값을 포함하지 않는 범위입니다. 또한 열린구간에서만 연속이라면, 양 끝값인 f(a)와 f(b)를 정의할 수 없기 때문에 닫힌 구간에서 연속이라는 표현을 사용하는 것이고, 닫힌 구간에서의 미분 가능성에 대해서는 논할 수 없기 때문에 열린 구간에 대해서 미분가능이라는 표현을 사용하는 것입니다. p. s 미분 가능하기 위해서는 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하는데 [a,b]에서만 정의되어 있는 함수의 경우, x=a에서의 좌미분계수나 x=b에서의 우미분계수에 대해서 논할 수 없기 때문에 닫힌 구간에서의 미분 가능성에 대해서는 논할 수 없는 것입니다. 이렇게 생각할 때, 연속의 정의에 대해서 생각해보면 닫힌 구간에서의 연속이라는 내용은 조금 이상할 수도 있습니다. x=a에서 연속이라는 말은 결국 lim(x→a)f(x) = f(a) 가 되어야 하는데, [a, b] 라는 닫힌 구간에서 연속이 되기 위해서는 결국 (a,b)에 존재하는 모든 실수 값에서 연속이고, x=a, x=b에서도 연속이어야 하는데, lim(x→a-) f(x) 나, lim(x→b+)f(x) 가 존재하지 않기 때문입니다. 하지만 닫힌 구간에서의 연속의 정의자체가 열린구간 (a,b)에서 연속이며, lim(x→a+) f(x) = f(a), lim(x→b-) = f(b) 만을 만족하면 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 정의 하기 때문에 닫힌 구간에서 연속은 논할 수 있는 것입니다.