흰 공의 배치 상태에 따라서 중복되는 가지수가 달라집니다. 예를 들어 흰 공 3개가 모두 붙어있는 경우에는 처음 흰 공의 오른쪽에 붙여서 2개, 왼쪽에 붙여서 2개, 양쪽에 1개씩 붙여서 배열하는 경우로 3가지가 중복됩니다. 흰 공 2개가 붙어있는 경우는 처음 흰 공과 나중에 배열한 하나의 공이 붙어 있는 경우와 나중에 배열한 공 2개가 붙어있는 상황에 대해서 각각의 배치 상태에 따라서 중복되는 가지수가 다르게 나오게 되는데, 결국 일렬로 배열했을 때, 한쪽 끝에 1개, 다른 1개는 검은 공에 사이에 있는 경우 10가지와, 두 흰공이 붙어있는 상태로 검은 공의 사이에 있는 경우 5가지, 총 15가지의 상황에 대해서 각각 3가지의 중복되는 경우가 생기게 됩니다. 여기까지는 총 28가지 경우 중, 18가지 경우에 대해 3가지의 중복되는 경우가 생겨서 6가지로 압축시킬 수 있습니다. 하지만, 모두 떨어져 있는 상황은 결국 순수하게 각 흰 공 사이에 몇 개의 검은 공이 있느냐에 따라서 배열되는 상황이 바뀌게 되는데, 각 검은 공의 사이에 번호를 매겨 1, 2, 3, 4, 5 라고 한다면, 1, 2에 배열하는 것과 4, 5에 배열하는 방법, 1, 5에 배열하는 방법은 같은 경우가 되고, (1, 3), (2, 5), (3, 4) 에 배열하는 것이 같고, (1, 4), (2, 3), (3, 5) 에 배열하는 것이 같게 됩니다. 유일하게, (2, 4) 에 배열하는 경우는 중복되는 것이 없습니다. 이러한 상황들을 모두 고려하여 중복되는 경우를 제외하는 것이 너무 복잡하기 때문에 원순열을 이용하는 풀이를 사용하지 않고, 처음부터 배치 상태에 따라서 각각의 상황을 나누어서 생각하는 방법이 더 효율적입니다.