1. 유제 18-12 두 원의 위치관계에 관한 문제입니다. (1)은 두 원이 외접해야 하므로, 두 원의 중심 사이의 거리와 구 원의 반지름의 길이의 합이 같아야 합니다. 두 원의 중심사이의 거리는 두 점 (0,0)과 (2,2)의 거리이므로 2√2 입니다. 따라서 두 원의 반지름인 r과 1의 합이 2√2 여야 하므로, r+1 = 2√2, r = 2√2 - 1 이라는 답이 나오게 됩니다. (2)의 경우 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나야하기 때문에, 두 원의 중심 사이의 거리가, 두 원의 반지름의 길이의 합 보다는 작고, 두 길이의 차 보다는 커야합니다. 따라서 r-1 < 2√2 < r+1 이라는 관계식을 만족해야 하며, r-1 < 2√2 을 먼저 풀어내면, r < 2√2 + 1, 2√2 < r+1 을 풀어내면 r> 2√2 - 1 이 되어야 하므로, 2√2 -1 < r < 2√2 + 1 이라는 결과가 나오게 됩니다. 2. 필수예제 18-9 두 원의 교점 사이의 거리는 두 원 중, 반지름의 길이가 작은 원의 지름의 길이보다 클 수는 없습니다. 따라서 이 길이가 최대가 되기 위해서는 선분 PQ가 반지름의 길이가 작은 원, 즉 (x-3)²+(y-2)²=4 의 지름이 되어야 합니다. 선분 PQ가 원의 지름이 되기 위해서는 직선 PQ가 원의 중심인 (3,2)를 지나야 하고, 직선 PQ는 두 원의 교점을 지나는 직선이기 때문에 {(x-k)²+y²-9} - {(x-3)²+(y-2)²-4} = 0, 이를 정리하면, (2k-6)x - 4y - k² + 18 = 0 이라는 식이 나옵니다. 이 직선이 (3,2)를 지나야 하기 때문에 x=3, y=2를 대입하면, k²-6k+8 = 0 이라는 식이 나오게 되고, 이를 풀면 k=2 또는 k=4라는 답이 나오게 됩니다. 3. 필수예제 18-11 mx-y+2m-2 = 0 이라는 직선을 m에 관하여 정리하면, m(x+2) - (y+2) = 0 이 되므로, 이 직선은 기울기와 관계없이 (-2,-2)를 지나는 직선입니다. 이 점 (-2,-2)를 A라고 하겠습니다. 마찬가지로 x+my-4m-6 = x-6 + m(y-4) = 0 이므로, (6,4)를 지나는 직선이 됩니다. 이 점 (6,4)를 B라고 하겠습니다. 이 때, mx-y+2m-2 = 0라는 직선은 y = m(x+2) - 2 라고 표현할 수 있고, 기울기가 m인 직선이며, 직선 x+my-4m-6 = 0 은 y = (-1/m)(x-6) + 4 라고 표현할 수 있고, 기울기가 -1/m 입니다. 이 때, 두 직선의 기울기를 곱하면 m × (-1/m) = -1 이므로 두 직선의 기울기가 얼마가 되더라도, 두 직선은 반드시 수직이어야 하고, 각각 A(-2,-2), B(6,4)를 지나야합니다. 이 때, 두 직선의 교점을 P라 하면, 두 직선이 수직이기 때문에 삼각형 ABP는 각 APB가 직각인 직각삼각형이 됩니다. 이 때, 직각삼각형의 빗변 AB의 중심을 M이라고 하면, M은 직각삼각형의 외심이기 때문에 AM = BM = PM 이 되고, P의 위치가 어디에 있던지 PM의 길이는 일정하게 됩니다. 즉, P의 자취는 M으로부터 떨어진 거리가 같은 점들이 되고, 이는 곧 원이 됩니다. 따라서 P는 AB의 중점인 M(2,1)을 중심으로 하고, A와 B를 지나는, 즉 반지름의 길이가 5인 원이 되는 것입니다. 이 때, (1)의 경우 m의 범위에 제한이 없는데, mx-y+2m-2 = 0는 x=k의 형태, 즉 y축에 수직한 형태의 직선을 표현할 수 없고, x+my-4m-6 = 0은 y=k의 형태, 즉 x축에 수직한 형태의 직선을 표현할 수 없기 때문에 x=-2, y=4라는 두 직선의 교점인 (-2,4)는 포함할 수 없게됩니다. 또한 (2)의 경우 m≤1이어야 하기 때문에, mx-y+2m-2 = 0이 x축에 수직한 형태일 때, 지나는 (-2,4)에서 부터 직선을 반시계방향으로 돌려서 m=1이 될 때 지나는 (5,5) 부분까지 그려주면 됩니다. 기울기가 변하는 두 직선이 각각 어떤 정점을 지나고, 두 직선이 수직일 때, 두 직선의 교점의 자취는 반드시 두 정점을 지름으로 하는 원을 이루게 된다는 사실을 반드시 기억해두시기 바랍니다. 4. 유제 18-18 이 문제도 앞에서 설명했던 것처럼, 두 직선이 수직하고, 각 직선이 (2,0), (-2,0)을 지나기 때문에 이 두 점을 지름으로 하는 원인 x²+y²=4 에서 두 직선의 교점이 될 수 없는 점인 (2,0)을 제외하면 됩니다. 5. 필수예제 18-12 (1) 두 점 A, B를 (-2a,0), (a,0)이라고 설정하겠습니다. 임의의 점 P를 (x,y)라고 설정한 후, AP:BP = 2:1 이라는 식을 풀어보면, AP = √{(x+2a)²+y²}, BP = √{(x-a)²+y²} 이므로, AP : BP = √{(x+2a)²+y²} : √{(x-a)²+y²} = 2:1 이라는 식이 나오게 됩니다. 이 때, 이 비례식을 풀어보면, 2√{(x-a)²+y²} = √{(x+2a)²+y²} 라는 식이 나오게 되고, 루트가 있기 때문에 양변을 제곱해 보면, 4{(x-a)²+y²} = {(x+2a)²+y²} 라고 나오게 됩니다. 이 식을 정리해보면, 4x² - 8ax + 4a² + 4y² = x² + 4ax + 4a² + y², 3x² - 12ax + 3y² = 0, x² + y² - 4ax = 0, (x-2a)²+y² = (2a)² 이라는 형태가 되는데, 이 원은 선분 AB의 2:1의 내분점과 외분점을 이은 선분을 지름으로 하는 원이 됩니다. 이 형태도 반드시 알아두시기 바랍니다. 6. 유제 18-19 (2) 삼각형의 넓이 공식은 (1/2)×(밑변)×(높이) 입니다. 이 때, 삼각형 PAB의 밑변을 AB로 고정시키면, 높이가 최대일 때, 삼각형의 넓이도 최대가 됩니다. AB가 모두 x축 위의 점이기 때문에, P의 y좌표가 최대가 될 때, 높이가 최대가 되고, 이 때의 P의 y좌표는 2이고 이 길이가 높이가 됩니다. 따라서 (1/2) × 3 × 2 = 3 이라는 넓이가 최대가 됩니다. p.s 각 문제에서 어느 부분을 모르는지를 자세히 적어주시면 더 자세히 답변할 수 있을 것 같습니다^^