y=f(x)라는 함수는 x=1 에서 불연속인 함수입니다. 이 함수를 통해서 g(x) 의 식을 나타내었는데, g(x) = f(-x) (x<0), g(x) = f(f(x)) (x≥0) 으로서 x=0의 좌우에서 표현이 달라지는 함수이기 때문에 처음에 i에서는 x=0에서 판정을 하고 있는 것입니다. 이후에는 임의의 두 연속인 함수의 합성함수는 연속이라는 점을 생각하여, 연속이 아닌 지점에서의 연속성만 판단하면, 합성함수의 연속성을 확인할 수 있다는 점을 이용하여, 합성함수의 연속성을 따질 때는 본래 함수가 연속이 아닌 구간에 대해서 생각해야합니다. 이제, x>0 일 때를 생각해보겠습니다. x>0에서는 g(x) = f(f(x)) 인데, 기본적으로 f(x)가 x=1에서 불연속이기 때문에 x=1에서 g(x)의 연속성에 대한 판정을 하는 것입니다. f(x)의 그래프를 보시면, x=1 에서 f(x)의 좌극한은 1인데, x가 1보다 작은 값에서 1에 가까워 질수록, f(x)는 1보다 큰 값에서 1에 가까워지고 있기 때문에, x→1- 이면, f(x)→1+ 라고 할 수 있고, f(x) = t라고 치환하면, f(f(x)) = f(t) 가 되는데, 마찬가지로 그래프로 보았을 때, x=1에서의 f(x)의 우극한은 0이기 때문에 t→1+ 이면, f(t) → 0 이라고 할 수 있고, 식으로 표현하면, lim(x→1-) g(x) = lim(x→1-) f(f(x)) = lim(t→1+) f(t) = 0 이 되는 것입니다. 이번에는 x=1에서 g(x)의 우극한을 생각해보겠습니다. x=1에서의 f(x)의 우극한은 0인데, x가 1보다 큰 값에서 1에 가까워 질수록, f(x)는 0보다 큰 값에서 0에 가까워지고 있고, 마찬가지로 x→1+ 이면, f(x)→0+이고, f(x)=t 라고 치환했을 때, t→0+이면, f(t)→2 이므로, lim(x→1+) g(x) = lim(x→1+) f(f(x)) = lim(t→0+) f(t) = 2 가 되는 것입니다. 지금까지 f(x)가 x=1에서 불연속이었기 때문에 g(x)를 x=1에서의 연속성을 판정했는데, 이번에는 g(x) = f(f(x)) = f(t) 라고 했을 때, t=1, 즉 f(x) = 1 일 때의 x 값에서의 연속성을 판단해보겠습니다. x>0일 때, f(x)의 극한값이 1이 되는 x값은 x=1, x=2일 때가 있습니다. 이 때, x=1에서의 연속성은 판단했기 때문에 x=2에서의 연속성을 판단해보겠습니다. x→2+ 이면, f(x) → 1- 이고, 결국 t→1- 라고 하면, f(t) → 1 이 되기 때문에 lim(x→2+) g(x) = lim(x→2+) f(f(x)) = lim(t→1-) f(t) = 1 이 되며, x→2- 이면, f(x) → 1- 이고, f(f(x))→1이 되어, lim(x→2-) g(x) = lim(x→2-) f(f(x)) = lim(t→1-) f(t) = 1 이 됩니다. 따라서 x=2에서 g(x)의 좌극한과 우극한이 모두 1이 되기 때문에 x=2에서는 연속입니다. 결국 x≥0 인 구간에서 g(x)는 x=0, x=1에서만 불연속이라는 것을 확인할 수 있었습니다. 이번에는 x<0인 구간에서 g(x)의 연속성을 판단해보겠습니다. x<0이면 g(x) = f(-x) 인데, f(x) 가 x=1에서 불연속이었기 때문에, f(-x)는 -x=1, 즉 x=-1인 지점에서 판단해보아야 합니다. x→-1+0 이면, -x→1-0 이 되고, 결국 -x=t라고 하면, g(x) = f(t)가 되는데, t→1-0 이면, f(t)→1 이기 때문에 x=-1에서 g(x)의 우극한은 lim(x→-1+0) g(x) = lim(x→-1+0) f(-x) = lim(t→1-0) f(t) = 1이 되며, x→-1-0 이면, -x→1+0 이 되어, f(-x) → 0 이 되기 때문에 x=-1에서 g(x)의 좌극한은 lim(x→-1-0) g(x) = lim(x→-1-0) f(-x) = lim(t→1+0) f(t) = 0 이 됩니다. 따라서 x=-1에서 g(x)의 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 g(x)는 x=-1에서 불연속이 되는 것입니다. 이렇듯, x가 어떤 값 a에 가까워 질 때, f(x)가 b에 가까워 진다고 할 때, b보다 작은 값에서 b에 가까워지는지, b보다 큰 값에서 b에 가까워지는지까지 확인해야만 이러한 합성함수의 극한값을 정확히 판단할 수 있는 것입니다.