30-13 nC(r-1) : nCr : nC(r+1) = 3:4:5 입니다. nC(r-1) = n!/(r-1)!(n-r+1)! 이고, nCr = n!/r!(n-r)!, nC(r+1) = n!/(r+1)!(n-r-1)! 이라는 점을 이용하여, nC(r-1) : nCr = n!/(r-1)!(n-r+1)! : n!/r!(n-r)! = 1/(n-r+1) : 1/r = 3:4 이므로, 3/r = 4/(n-r+1)이고, 3(n-r+1) = 4r이므로 3n =7r -3 이라는 n과 r의 관계식이 하나 나옵니다. 또한, nCr : nC(r+1) = n!/r!(n-r)! : n!/(r+1)!(n-r-1)! = 1/(n-r) : 1/(r+1) = 4:5 5/(n-r) = 4/(r+1) 이고, 5(r+1) = 4(n-r) 4n = 9r+5 라는 또 하나의 관계식이 나옵니다. 즉, 3n = 7r-3, 4n = 9r+5 라는 두 식을 통해 n = 62, r = 27 이라는 값이 나오게 됩니다. 30-21 평면 위에 4개의 평행선과, 이 평행선들과 만나는 3개의 평행선이 있습니다. 이를 이용하여 평행사변형을 만들기 위해서는 4개의 평행선 중에 2개를 선택하고, 3개의 평행선 중에 2개를 선택해야 합니다. 따라서 4C2 × 3C2 = 6×3 = 18 이라는 결과가 나오게 됩니다. 이 평행선들을 이용하여 나오는 가장 작은 크기의 평행사변형의 넓이를 1이라고 한다면, 마름모는 넓이가 1인 평행사변형 6개와 넓이가 4인 평행사변형 2개, 총 8개의 마름모가 나오기 때문에 마름모가 아닌 평행사변형은 18 - 8 = 10 개가 나오게 됩니다. 평행선들의 교점의 개수는 총 12개가 나오게 되는데, 12개 중에 3개를 선택한 후에, 한 직선 위에 있는 3개의 점을 선택하는 상황을 제외해야 합니다. 이 때, 3개가 평행한 평행선들 위에는 4개의 점이 나오기 때문에 이 4개의 점 중 3개를 선택하는 경우를 제외해야 하고, 4개가 평행한 평행선 위에는 3개의 점이 나오기 때문에 3개의 점 중 3개를 선택하는 경우를 제외해야 합니다. 그 외에도 한 직선 위에 3개 이상의 점이 있는 경우가 있는데, 바로 대각선 위치에 있는 점들입니다. 이러한 대각선이 총 4개가 있기 때문에 이렇게 대각선 위에 3개의 점중 3개를 선택하는 경우도 제외를 해야 합니다. 결국 최종 계산을 해보면, 12C3 - 3×4C3 - 4×3C3 - 4×3C3 = 220 - 12 - 4 - 4 = 200 이라는 값이 나오게 됩니다.