| [차현우] 실력편 확률과 통계 (2014) - 조합 |
| 경우의 수, 순열, 조합에서의 다양한 풀이 방법 |
선생님이 말씀하신 대로 경우의 수, 순열과 조합은 풀이과정이 매우 다양하기 때문에 정석뿐 아니라 시중의 다른 문제집을 풀어도 답지의 풀이와 제 풀이가 다른 경우가 굉장히 많은 것 같습니다. 1부터 9까지의 자연수 중 홀수를 적어도 2개, 짝수도 적어도 2개 포함하여 서로 다른 5개를 뽑는 문제에서 <풀이1> 1) 홀수 2개, 짝수 3개 뽑는 방법 5C2 * 4C3 = 40 2) 홀수 3개, 짝수 2개 뽑는 방법 5C3 * 4C2 = 60 따라서 100가지이다. <풀이2> 홀수 2개를 뽑는 경우의 수 : 5C2 = 10 짝수 2개를 뽑는 경우의 수 : 4C2 = 6 홀수 2개와 짝수 2개를 뽑으면 나머지 하나는 무엇이 와도 무관하므로, 남은 하나를 뽑는 방법은 "전체수(9) - 이미뽑은수(4) = 5" 따라서 10 * 6 * 5 = 300가지이다. 이중에서 옳은 풀이는 무엇인가요? 그리고 틀린 풀이가 틀린 이유는 무엇인가요? |
옳은 풀이는 1번입니다.
2번의 경우 중복으로 카운트 되는 경우들이 존재하기 때문에 틀린 풀이입니다.
중복으로 카운트되는 예를 살펴보면,
홀수 중 135와 짝수 중 24를 고르는 방법의 경우,
처음 2개의 홀수를 선택할 때, 13을 고르고, 짝수를 고른 후, 마지막에 5를 선택하여, 1,2,3,4,5를 선택하는 경우와
처음 2개의 홀수를 35, 짝수 24를 선택한 후, 마지막에 1을 선택하여 1, 2, 3, 4, 5를 선택하는 방법,
처음에 15, 이후 24, 마지막에 3을 선택하여 12345를 선택하는 방법은
결론적으로 같은 5개의 숫자인 12345를 선택하기 때문에 같은 방법이 되어, 하나의 경우로서 생각되어야 하지만,
풀이2 처럼 계산을 한다면, 이 방법들이 각각 다른 경우로서 생각되기 때문에 중복되어 카운트 되기 때문에 이는 틀린 방법이 되는 것입니다. |
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