사실 이는 대학 과정의 테일러 급수와 멕클러린 급수를 알아야만 e^x = 1/0! + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... 라는 공식을 잘 알 수 있고, x=1 을 대입하면 e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 라는 것을 알 수 있습니다. 이는 고교 과정을 넘어서지만, 참고로 증명을 해보자면, 만약 e가 유리수라고 가정하여, e = m/n 꼴로 나타낼 수가 있습니다. (단, m과 n은 자연수, e는 0보다 크기때문에) 이 때, 양변에 e = m/n 의 양변에 n! 를 곱해보면, 그럼 n! e 는 분모 n 이 소거되면서 자연수가 됩니다. 하지만 e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 를 생각하면 n!e = n! + n! + n!/2! + n!/3! + .... + n!/n! + n!/(n+1)! + n!(n+2)! + ... 가 되어, 우변을 살펴보면 n! + n! + n!/2! + ... n!/n! 까지는 급수의 합이 자연수가 되지만 뒤의 항 n!/(n+1)! + n!/(n+2)! + ... 의 경우 분모 분자를 최대한 다 나누어 보면 우변은 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + .... 가 되는데, 이 값은 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ... 보다 작기 때문에 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + .... < 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ... 이 되어, 부등식의 우변은 무한등비급수이므로 그 값을 계산하면 (n+1)/n=1+1/n 이 됩니다. n=1 일 경우 2 < 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... <1 + 1 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... = 2.5 로부터 n!e 가 자연수가 되지 않는 다는 것을 알 수 있고, n≠1 일 경우 1/n 이 자연수가 아니기 때문에 n!e 는 역시 자연수가 아니라는 것을 알 수 있습니다. 이는 e가 유리수가 되어 n!e 가 자연수라는 가정에 모순이 되기 때문에 e 는 유리수가 아닌, 무리수라는 것을 확인할 수 있습니다. p. s 가급적 강의와 관련된 질문을 부탁드립니다^^