1. 어떤 지점에서 미분가능하다의 수학적 의미는 ① 연속 이고, ② 미분계수가 존재(좌미분계수와 우미분계수가 정의 되고, 이 값이 동일)하기만 하면 미분 가능한 상황입니다. 미분 가능한 상황이라면, 그래프를 그렸을 때, 접선을 그을수 있는 것이 되는 것입니다. 전 후 상황을 조금 뒤바꿔서 생각하신 것 같네요. 추가적으로 y = √|x| 의 경우 x = 0 에서 좌미분계수와 우미분계수가 모두 정의되지 않기 때문에 x = 0에서는 미분이 불가능합니다. 2. d의 의미는 delta 라는 의미로서, 뒤에 오는 문자에 대한 '변화량' 의 개념이며, 사실 △x 라고 하는 기호를 간단하게 dx 라고 썼다고 생각하시면 됩니다. 따라서 d가 하나의 문자가 아니라, dx라는 것 자체가 하나의 변수의 개념으로 생각하셔야 하며, 합성함수 미분법에서 이를 분수의 개념 정도로 생각하는 것 이외에는 일반적인 사칙연산은 고교과정의 내용이 아니기 때문에 생각하지 않으셔도 괜찮습니다. 또한, 다항함수의 경우 미분을 하면 항상 차수가 낮아진다고 할 수 있습니다. 3. 물론, y = 1/x 가 x = 0 에서 미분이 불가능한 것은 맞지만, 애초에 y = 1/x 라는 함수는 x = 0 에서 정의되지 않은 함수이기 때문에 이를 제외한 지점에서만 미분을 했다고 생각하시면 됩니다. 또한, y = √x 의 경우도 x<0 에서는 정의되어 있지 않기 때문에 이 범위에서는 생각하지 않아도 괜찮고, 사실 x = 0 에서의 경우는 따로 언급해야 하는 것이 맞지만, 1/√x 라는 함수가 마찬가지로 x = 0에서는 정의되지 않기 때문에 이를 따로 언급하지 않은 것 같네요. 4. 증분, 즉 증가량이라는 것이 음수가 될 수도 있습니다. 직선의 기울기를 생각할 때, (y의 증가량)/(x의 증가량) 으로 생각을 하여, x가 증가할 때, y가 감소하는 형태가 되어 기울기가 음수가 되면, y의 증가량이 음수가 된다고 생각한 것입니다. 5. 절대로 안됩니다. 애초에 f(a) = ma + n 이라는 식에서 a는 변수가 아니라 상수입니다. 그렇기 때문에 항등식의 개념이 아닌 단순히 식의 값을 표현한 형태로 생각해야 합니다. cf) 무한대는 수가 아니라 '개념'입니다. 학생이 말하는 형태는 아마, x→∞이면, f(x)→∞ 인 함수 f(x)와 숫자 0을 곱하여 0×f(x) 가 되면, 0×f(x) = 0 이 되어, x→∞ 이 되더라도, 0×f(x) → 0 인 그러한 형태를 생각하시는 것 같네요. 또한 0/0 일 때, 발산하는 형태는 굉장히 많지만, 가장 단순한 예를 들면, y = x/x² 일 때, x→0 이면, 0/0 의 형태이지만, y 값은 발산하게 됩니다. p. s 질문은 언제든 환영입니다! 다만, 하나의 질문 게시글에 너무 많은 질문을 하시면 가독성이 조금 떨어지네요 ㅠ