직선의 기울기란 말 그대로 어떤 직선이 기울어진 정도를 수로 표현한 값입니다. 사실 과거에는 이를 '공리'로 취급하였습니다. 하지만 한 직선에 대하여 기울어진 정도는 항상 일정하다는 것을 도형의 닮음을 통해서 확인할 수 있고, 이를 통해 하나의 개념으로 '정의'를 한 것입니다. 이러한 기울기를 수치로 나타냄으로써 굉장히 큰 거리를 측정해야 하는 상황에서 그 거리를 직접 측정하지 않고, 비율을 통하여 간접적으로 측정할 수가 있게 되었습니다. 사실 기울기뿐 아니라 모든 개념들이 정의되는 가장 큰 이유는 새로운 내용을 진행해가는 과정에서 기존의 개념들만으로 더 이상의 엄밀한 진행이 힘들 때, 새로운 개념을 도입하여, 더욱 더 엄밀하고 매끄럽게 진행하기 위해서입니다. 기울기 역시 마찬가지로, 이 기울기라는 개념을 통해서 기하학의 다른 요소들에 도입하기 위한 정의라고 생각하시면 좋을 것 같습니다. 학생이 생각하기에 조금 맥빠지는 말이겠지만, 모든 '정의'란 본래 '그렇게 정함' 입니다. 물론 그렇게 정하는 이유가 있지만, 그 이유에 대한 부분은 수학적으로 굉장히 엄밀하지는 않습니다.