①에서 보이는 것은 치역이 공역에 포함된다는 것을 확인하는 과정이며, ②에서 보이는 것이 공역이 치역에 포함된다는 것을 확인하는 과정입니다. 이 때, 치역⊂공역 이고, 공역⊂치역 이기 때문에 치역 = 공역이라고 할 수 있습니다. 조금 더 세세하게 생각해보면, ① f(x) = 2x² + 1 에서, x²≥0 이고, 2x² ≥ 0 이므로, 2x² + 1 ≥ 0 이 되어, f(x) ≥ 1 이라고 할 수 있습니다. 즉, f(x) 의 함수값이 될 수 있는 모든 값들이 항상 1 이상이라는 것을 확인할 수 있다는 의미가 되어, 치역의 모든 원소가 1 이상이라는 것을 알 수 있고, 따라서 치역의 모든 원소는 공역인 Y = {y|y≥1} 에 포함된다고 할 수 있습니다. ② Y에 속하는 임의의 원소 y 에 대하여, x = √(y-1)/2 라는 값이 항상 X에 존재하고, 이러한 x 들에 대해서 f(x) = y 라는 상황을 만족하기 때문에 공역의 모든 원소들이 f(x) 라는 함수의 함수값이 될 수 있다는 의미가 되어, 공역의 모든 원소들이 치역의 원소가 된다는 의미가 됩니다. 즉, 공역이 치역에 포함된다고 할 수 있습니다.