2-12 는 결국 처음 사분원의 넓이와 그 다음 사분면의 넓이 비율은 처음 직사각형과 그 다음 직사각형의 넓이의 비율이 같다는 방식을 이용하여, 직사각형들의 길이의 비율을 먼저 확인하는 것이 좋습니다. 따라서 AnBn = a_n 이라고 설정하면, BnCn = 2×a_n 이 됩니다. 이를 이용하여, A₂B₂ = a₂ 라고 설정하면, 삼각형 B₂C₂C₁은 높이, 밑변, 빗변의 길이의 비율이 1:2:√5 이기 때문에 이를 이용하면, B₂C₂ : B₂C₁ = √5:2 가 되어, B₂C₁ = (2/√5)B₂C₂ = (4/√5)a₂ 이라고 나오고, 이를 삼각형 B₁A₂B₂에도 적용한다면, B₁B₂ = √5a₂ 이라는 관계식이 나오게 되며, 결국 B₁C₁ = B₁B₂ + B₂C₁ = (9/5)√5a₂ = 2×A₁B₁ = 2a₁ 이 되어, a₂ = (2√5/9)a₁ 이라고 생각할 수 있고, 이를 통해 a_(n+1) = (2√5/9)a_n 이 되는 상황이 되며, 길이 비율이 1 : (2√5/9) 이므로, 넓이 비율은 1²:(2√5/9)² = 1:20/81 이라고 나오게 됩니다. 결국 S_(n+1) = (20/81)S_n 이라는 관계식이 나오게 됩니다. 유제 2-13은 An 의 좌표를 (x_n, y_n) 과 같이 설정하여, (1) 은 x_1 = 1, y_1 = 0 이 되며, x좌표는 짝수에서 홀수로 넘어갈 때만 변하고, y좌표는 홀수에서 짝수로 넘어갈 때만 변하며, 결국 좌표의 변화량과 A_n A_(n+1) 의 길이가 같다는 점을 통해서 x_(2n+2) = x_(2n+1) = x_(2n) + (-1/4)^n 이라는 관계식을, y_(2n+1) = y_(2n) = y_(2n-1) + (1/2)×(-1/4)^(n-1) 이라는 관계식을 찾아낼 수 있으며, (2) 는 A_n A_(n+1) 을 빗변으로 하고, 한 변이 x축과, 다른 한 변이 y축과 평행한 직각삼각형을 생각하시면, 이 삼각형의 가로의 길이는 (√3/2)An A_(n+1) = (√3/2)×(1/2)^n 이 되고, 세로의 길이는 (1/2)An A_(n+1) = (1/2)^(n+1) 이 됩니다. 따라서, x_(n+1) = x_n + (√3/2) × (-1/2)^n 이 되며, y_(n+1) = y_n + (1/2)^(n+1) 이 됩니다. 2-14도 2-12 와 비슷한 개념으로 n번째에 새롭게 칠해진 부분의 넓이와 n+1 번째에 새롭게 칠해지는 부분의 넓이의 비율은, 결국 n번째에 그려진 원의 넓이과 n+1 번째에 칠해진 원의 넓이의 비율과 같다고 생각한 후, 원들의 넓이 비율이 어떻게 되는지를 먼저 확인하시고, 그 이후에 (n+1)번째에는 n번째 보다 2배만큼의 도형이 색칠된다는 부분까지 확인하시면 좋습니다. n번째 그려지는 원의 반지름을 r_n 이라고 하고, r₁과 r₂ 사이의 관계를 통해서 r_(n+1) 과 r_n 의 관계를 생각해보면, AC = AE = √2×r₁ 이고, BE = 2×r₂ 인데, AE + BE = AB 이기 때문에 √2r₁ + 2r₂ = 2r₁ 이므로, r₂ = (1 - √2/2)r₁ 이 되며, 이와 같은 논리로, 원의 넓이의 비율이 1 : (1 - √2/2)² 이 되며, 추가로, n번째 처음 칠해진 부분의 넓이를 T_n 이라고 하면, T_(n+1) = T_n × (1 - √2/2)² × 2 라고 할 수 있으며, S_n = T_1 + T_2 + .... + T_n 이라는 식을 통해 문제를 해결할 수 있습니다. 2 - 15 번도 이와 정확히 같은 논리로 삼각형 넓이의 비율과 원의 넓이의 비율이 같다는 방식으로 식을 세울 수 있습니다. p. s 하나의 질문에 여러 문제를 질문하시는 것보다 한 문제씩 여러번 질문해주시면 학생이 읽기에도 조금 더 편할 것 같네요^^