f(x) = x² + 2x + a = 0 의 근을 p, q (p < q) 라 하면, f(p) = p² + 2p + a = 0, f(q) = q² + 2q + a = 0 이 되어, p² = -2p - a, q² = -2q - a 라고 할 수 있습니다. 이를 통해 g(x) = x² + 2ax + 1 에 대입해보면, g(p) = p² + 2ap + 1 = -2p - a + 2ap + 1 = (2p - 1)(a - 1) > 0 g(q) = q² + 2aq + 1 = -2q - a + 2aq + 1 = (2q - 1)(a - 1) > 0 또한, g(x) = 0 의 근을 r, s (r < s) 라 하면, g(r) = g(s) = 0 이라는 식을 통해서 r² = -2ar - 1, s² = -2as - 1 이므로, f(r) = -2ar - 1 + 2r + a = (-2r + 1)(a - 1) > 0, f(s) = -2as - 1 + 2s + a = (-2s + 1)(a - 1) > 0 이라는 관계식이 나오게 됩니다. 이 4개의 관계식을 어떻게 처리하셨는지 정확히 알 수는 없지만, 축에 해당하는 값은 두 근의 사이에 있어야 하기 때문에 p < -1 < q, r < -a < s 라는 관계가 있는데, 이를 통해서 g(p) = (2p - 1)(a - 1) > 0 이라는 식에서 p < -1 이므로, 2p - 1 < -3 < 0 이 되어, a - 1 < 0 이 되어, a < 1 을 만족해야 합니다. 다만, 이 후 과정에서 q 의 값이 1/2 보다 큰지, 작은지에 따라서 g(q) = (2q - 1)(a - 1) > 0 이라는 관계식을 통해서 얻을 수 있는 a의 값의 범위가 달라지게 되며, 추가로 f(r) = (-2r + 1)(a - 1) > 0 이라는 식에서도, r과 s가 1/2 보다 큰지 작은지 등에 따라서 a의 값에 대하여 얻어질 수 있는 범위가 달라지게 됩니다. 그런데, p < q < r < s 가 되기 위해서는 p, q 는 모두 1/2 보다 작고, r, s는 모두 1/2 보다 커야하기 때문에 1/2 에 대한 함수값인 f(1/2) 과 g(1/2) 은 모두 0보다 커야하며, 이 부분에 대한 조건을 빠트리신 것 같네요.