수식적으로도 확인할 수 있습니다. 다만, 판별식이 아닌 다른 조건을 조금 많이 활용해야 합니다. 풀이를 생각해보면, y² = (1/2)x 라는 그래프 위의 모든 점은 x좌표가 양수 또는 0 입니다. 결국 연립방정식을 만족하는 x 값은 반드시 0 이상이 되어야 한다는 의미입니다. 따라서 y² = (1/2)x 를 (x-a)²/2 + y² = 1 에 대입하여 정리한 식인 x² + (-2a+1)x + a² - 2 = 0 의 두 근 중에서도, 두 근이 모두 0 이상이 되는지, 아니면, 두 근 중 하나만 0 이상이 되는지에 따라서 상황이 달라지는 것입니다. 즉, 두 근의 곱인 a² - 2 가 음수가 된다면, 두 근은 반드시 음수 하나, 양수 하나가 되어, 연립방정식의 근이 반드시 존재하게 됩니다. a² - 2 < 0, 즉 -√2 < a < √2 인 a 에 대해서는 항상 양수 근이 하나 존재하는 상황이 된다는 의미입니다. 또한, a² - 2 = 0 이면, 즉 a = ±√2이면, 두 근 중 하나는 반드시 0 이기 때문에 마찬가지로 연립방정식의 해가 존재하는 상황이 됩니다. 두 근의 곱이 양수가 된다면, 두 근이 모두 양수거나, 모두 음수인 상황이 됩니다. 그런데 이 때, 모두 양수가 되기 위해서는 두 근의 합인 2a - 1 이 양수가 되어야 하고, 추가로, 이 상황에서는 판별식까지 사용해야 합니다. 따라서 이 상황에서는 a² - 2 > 0, 2a - 1 > 0, D ≥ 0 까지 활용하면, √2 < a < 9/4 라는 범위가 나오게 됩니다. 최종적으로 -√2 < a < √2, a = ±√2, √2 < a ≤ 9/4 를 모두 합하면, -√2 ≤ a ≤ 9/4 라는 범위가 나오게 됩니다. p.s 일반적으로 실전 상황에서는 이 상황을 모두 생각하기가 힘들기 때문에 그래프를 이용한 풀이를 더 많이 활용합니다.