조금 잘못쓰신 것 같네요. ∑k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3 이고, ∑k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 이며, ∑k(k+1)(k+2)(k+3) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5 입니다. 이에 대한 증명을 귀납법을 통해서도 진행할 수 있지만, 이 과정은 진행하기 쉽지 않기 때문에 일반적으로는 순열과 조합을 이용하여 진행하며, 이 과정에서 확률과 통계에 나오는 이항정리에 대한 내용이 적용됩니다. 풀이 방식에 대하여 소개해보면, 증명할 식을 일반화를 시켜서 생각해보면, (k = 1 ~ n)∑k(k+1)...(k+m) = n(n+1)(n+2)....(n+m+1)/(m+2) 라고 쓸 수 있습니다. 또한, k(k+1)...(k+m) = (k+m)P(m+1) = (m+1)! × (k+m)C(m+1) 로 표현이 가능하기 때문에 (k = 1 ~ n)∑k(k+1)...(k+m) = (k = 1 ~ n)∑(m+1)! × (k+m)C(m+1) = (m+1)! × (k = 1 ~ n)∑(k+m)C(m+1) 이라고 할 수 있는데, 이 과정에서 이항정리의 성질을 이용하면, (k = 1 ~ n)∑(k+m)C(m+1) = (n+m+1)C(m+2) 가 되어, 이 식을 정리하면, n(n+1)(n+2)....(n+m+1) = (n+m+1)P(m+2) = (m+2)! × (n+m+1)C(m+2) 라는 표현이 나오게 됩니다.