강의에서처럼, P(x) = 0 의 해를 a1, a2, a3, a4, a5, Q(x) = 0 의 해를 b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8 이라고 하겠습니다. 이 때, 집합 A 에서의 조건인 P(x)Q(y) = 0 이고, P(y)Q(x) = 0 라는 조건을 생각할 때, P(x)Q(y) = 0 이라는 것은 ①P(x) = 0 또는 ②Q(y) = 0 이라는 상황이 되며, P(y)Q(x) = 0 이라는 것은 ③P(y) = 0 또는 ④Q(x) = 0 이라는 상황이 됩니다. 결국, ① 또는 ② 중에서 하나는 만족해야 하며, ③ 또는 ④ 중에서 하나는 만족해야 합니다. 이러한 상황을 통해서 ① 과 ③ 을 만족하는 상황을 먼저 생각해보면, x와 y가 될 수 있는 것은 a1, a2, a3, a4, a5 중 하나이기 때문에 이를 만족하는 x, y의 순서쌍은 5×5 = 25가지가 됩니다. 비슷한 방식으로 ② 와 ④ 을 만족하는 상황은 8×8 = 64 가지가 됩니다. 그런데 이 때, ①과 ④ 를 만족하기 위해서는 P(x) = Q(x) = 0 이 되어야 하기 때문에 P(x) = 0 의 근 5개와 Q(x) = 0 의 근 8 개 중에서 겹치는 것이 존재해야만 하며, 존재하기만 한다면, y의 값은 임의로 설정해도 괜찮기 때문에 이를 만족하는 (x,y) 는 무수히 많아지게 됩니다. ②와 ③을 만족하는 상황도 이와 비슷합니다. 그런데 문제에서 A가 무한집합이라고 했기 때문에 결국 P(x) = 0 의 해와 Q(x) = 0 의 해 중에서 겹치는 것이 존재한다고 할 수 있으며, 편의상 겹치는 근을 a1과 b1 이라고 해보겠습니다. 이 중, (x,y) 에서 x = y 인 것을 생각해보면, ①과 ③을 만족하는 것은, (a1,a1), (a2,a2), (a3,a3), (a4,a4), (a5,a5)로 5개이며, ②와 ④을 만족하는 것은, (b1,b1), (b2,b2), (b3,b3), (b4,b4), (b5,b5), (b6,b6), (b7,b7), (b8,b8) 로 8개입니다. 그런데, 이를 만족하는 것 중 (a1,a1)과 (b1,b1) 은 겹치기 때문에 이에 대한 것을 한번만 생각하면, 5+8-1 = 12 가지의 원소가 존재하게 됩니다.