합, 차, 곱에 대해서는 항상 가능하며, 나눗셈의 경우에는 대부분은 가능하지만, 일부 상황에 대해서는 불가능합니다. x = a 에서 미분 가능한 두 함수 f(x), g(x) 가 있다고 가정하겠습니다. A(x) = f(x) + g(x) 에 대하여, lim(h→0) {A(a+h) - A(a)}/h 가 존재해야 하는데, A(a+h) = f(a+h) + g(a+h), A(a) = f(a) + g(a) 이므로, A(a+h) - A(a) = {f(a+h) + g(a+h)} - {f(a) + g(a)} = f(a+h) - f(a) + g(a+h) - g(a) 가 되어, lim(h→0) {A(a+h) - A(a)}/h = lim(h→0) {f(a+h) - f(a) + g(a+h) - g(a)}/h = lim(h→0) [{f(a+h) - f(a)}/h + {g(a+h) - g(a)}/h] 가 되어, = lim(h→0) {f(a+h) - f(a)}/h + lim(h→0) {g(a+h) - g(a)}/h 가 되는데, f(x), g(x) 가 각각 x = a 에서 미분가능하기 때문에 lim(h→0) {f(a+h) - f(a)}/h 와 lim(h→0) {g(a+h) - g(a)}/h 의 값이 존재하며, 이 둘의 합인 lim(h→0) {A(a+h) - A(a)}/h 도 존재하게 됩니다. 비슷한 방식으로, f(x) - g(x) 도 증명이 가능하며, f(x)g(x) 의 경우, 중간에 조금의 과정이 필요한데, B(x) = f(x)g(x) 에 대하여, B(a+h) - B(a) = f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a) = f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a+h) + f(a)g(a+h) - f(a)g(a) = {f(a+h) - f(a)}g(a+h) + f(a){g(a+h) - g(a)} 가 되어, lim(h→0) {B(a+h) - B(a)}/h = lim(h→0) [{f(a+h) - f(a)}g(a+h)/h + f(a){g(a+h) - g(a)}/h] = [lim(h→0) {f(a+h) - f(a)}/h × lim(h→0) g(a+h)] + [lim(h→0)f(a) × lim(h→0) {g(a+h) - g(a)}/h] 라고 쓸 수 있으며, 이 역시 모든 극한 값들이 존재하기 때문에 전체 극한 값도 존재하게 되어, 결국 lim(h→0) {B(a+h) - B(a)}/h 의 값이 존재하게 됩니다. 추가로, f(x)/g(x) 의 경우도 증명의 과정은 비슷하지만, 분모에 있는 g(x) 의 값이 0이 되는 지점에서는 애초에 f(x)/g(x) 라는 함수가 정의되지 않기 때문에 이 지점에서는 미분이 불가능하며, 이를 제외한 모든 지점에 대해서는 미분이 가능합니다.