대부분의 상황에서 로그함수이며, 로그함수가 아니라면, 상수함수 중, f(x) = 0 의 형태만이 가능합니다. 우선, 양변에 x = y = 1 을 대입하면, f(1) = 0 이라고 할 수 있고, y = 1 + h/x 라고 하면, f(x+h) = f(x) + f(1+h/x) 가 됩니다. 이 식을 변형하면, {f(x+h) - f(x)}/h = f(1+h/x)/h 가 되고, 우변을 f(1) = 0 이라는 상황을 이용하여, 미분계수를 찾아내는 형태로 생각한다면, {f(1+h/x) - f(1)}/(h/x) ×1/x 가 되어, h→0 이면, 좌변은 f'(x), 우변은 f'(1)/x 가 되어, f'(x) = f'(1)/x 의 형태가 되며, f(x) = f'(1) × lnx 의 형태가 된다는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 f'(1) = 0 이 아니라면, 로그함수의 형태가 됩니다.