(1,4) 가 아닌 다른 교점이 있을 수도 있다고 생각하셨던 것 같네요. 다른 교점이 있을 수는 있지만, 해당 교점이 x ≥ 0 인 구간에 있지는 않기 때문에 y축과 둘러쌓인 부분은 0 ≤ x ≤ 1 인 구간만 존재하는 것입니다. 식으로 생각해보면, f(1) = g(1), f'(1) = g'(1) 이 되고, h(x) = f(x) - g(x) 라고 할 때, h(1) = h'(1) = 0 이기 때문에 h(x) 는 (x-1)²을 인수로 가지게 되며, 최고차항의 계수가 4인 삼차함수이므로, h(x) = 4(x-1)²(x-α) 의 형태로 쓸 수 있으며, f(x) 와 g(x) 의 다른 교점의 x좌표가 α가 되는 상황입니다. 이 때, α < 0 이면, 둘러쌓인 부분의 넓이를 단순히 0~1까지 h(x) 의 정적분값으로 생각하면 되는데, α > 0 이면 구간에 따라 나누어야 하는데, 식으로서 정리하보면, 해당 적분 값이 4가 될 수 없기 때문에 α < 0 이 되어야 하는 것입니다. 그래프로 확인하면 직관적으로 확인이 가능하기 때문에 그래프로 확인하는 것을 추천합니다^^