| [차현우] 실력편 미적분 (2018) - 함수의 미분 |
| 역함수 미분법 |
어떤 실수전체에서 일대일대응이고 미분가능한 함수에 대해서 그 함수의역함수가 미분 불가능한 경우가 있나요? 단 )매개변수함수 ,로그 지수함수,임의로 구간쪼갠함수 제외하고 그냥 자연적인 합성함수에 대해서 생각할때요 아예 함숫값이 존재하지 않는 경우 가 미분불가능의 이유가 되지 않게 생각할때(지수로그함수 경우) 또 위 내용과 역함수의 미분법에서 dx/dy가 정의될때 dy/dx가 0 이되면 안된다 라는 수식적인 면과 연관관계가 있나요?(dy/dx)가 0이되면 안된다 라는 조건은 함수f의 역함수가 dy/dx가 0일때 미분 불가능한다는 것으로 해석가능한데, 이 경우의 예시가 존재하나요 |
본래 함수가 미분가능한데 역함수가 미분불가능한 상황은 있습니다.
학생이 말한 것처럼 dy/dx = 0 이 되는 상황에서 미분이 불가능합니다.
미분가능한 함수 f(x) 의 역함수가 g(x) 이고, f(a) = b 라고 한다면,
g'(b) = 1/f'(a) 라고 생각할 수 있는데,
만약 f'(a) = 0 이라면, g'(b) 는 1/0 의 형태가 되어 정의할 수 없는 상황이 나오게 됩니다.
예를 들어, f(x) = x³ 의 역함수를 g(x) 라고 하면,
g(x) = ³√x 가 되며, g(0) = 0 이고,
g'(0) = lim(h→0) ³√h/h = lim(h→0) 1/³√h² 이 되는데, 이 값은 정의할 수 없기 때문에 미분이 불가능 합니다.
p.s 늦은 답변 죄송합니다. |
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