| [소순영] 기본편 수학 II (2018) - 부정적분 |
| 원시함수의 유일성 |
F'(x)=f(x)가 성립할 때 F(x)는 f(x)의 부정적분(원시함수) 중의 하나가 되는데, f(x)의 또 다른 부정적분 G(x)가 존재한다면 F와 G는 상수만큼의 차이, 즉 F(x)=G(x)+C (C는 적분상수) 가 됩니다. 그런데 이러한 상수 차이가 아니라, 어떤 함수를 적분했을 때 나오는 원시함수가 여러 종류가 존재하지 않고 유일하다는 것은 어떻게 알 수 있나요? 예를 들어 F'(x)=f(x)일 때 F(x)=G(x)+C의 관계로 설명되지 않는 또 다른 원시함수 G(x)가 존재하지 않음이 어떻게 확실한가요? 가령 (x^2)'=2x이고 2x를 적분하면 x^2+C가 되는데, x^2+C 꼴이 아닌 어떤 함수 G(x)가 G'(x)=x^2이 되는 함수가 존재할 수도 있지 않나요? |
안녕하세요.
질문에 대한 관련 답변입니다.
n>_1 일때, n차 다항식을 미분하면 n-1차가 됩니다. 상수항을 미분하면 0이 되구요
로그 함수, 지수함수, 삼각함수 등을 미분해도 각각 미분한 값이 다릅니다.
그 외에 배우는 것은 딱히 없습니다.
다르게 생각해본다면 두 원시함수가 존재해서 F(x) - G(x) 가 상수 c 가 아니라면
양변을 미분했을때 f(x) - f(x) 가 0이 아니므로 이는 모순입니다.
따라서 두 원시함수의 차는 상수여야 합니다. |
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