| [차현우] 실력편 수학 I (2018) - 수열의 합 |
| 연습문제 14-8, 수열의 일반항 관련 질문 |
이 문제의 풀이과정은 이해했습니다. 다만, 처음에 풀 때 'a 2k+1 - a 2k-1'을 하나의 수열로 생각해서 일반항을 구해 a 2k+1 - a 2k-1 = 3 이라고 놓고 풀면 안 되는 건가요? 그렇게 해서 계산해 보니 a21 - a1 = 30이 나오는데, 왜 잘못된 것인지 궁금합니다ㅠㅠ 그리고 추가로, 수열 단원에서 문제에 a2n = ~~~ 라는 식이 주어져 있을 때 n 대신 1/2n을 대입해 an = ~~~ 의 식으로 바꾸는 것이 가능한가요? 보통 문제를 풀 때 이렇게 풀어도 맞게는 나오는데, 예전에 틀렸던 적이 한 번 있었던 거 같아서요... 예를 들어 a2n-1 = 4n + 1 같은 식이 있을 때 이것을 n 대신 1/2n + 1/2을 대입해 an = 2n + 3으로 바꾸는 방법이 항상 오차 없이 적용될 수 있는 것인지 궁금합니다! 좋은 수업 감사합니다~! |
수열의 합을 이용하여 수열의 일반항을 구할 때는 항상 n = 1 일 때와 n ≥ 2 일 때로 구분하는 것이 맞습니다.
결국 a_(2k+1) - a_(2k-1) = b_k 라고 했을 때,
(k=1~n)∑b_k = 3n+2 에서,
(k=1~n-1)∑b_k = 3n-1 이 되어,
b_n = (3n+2) - (3n-1) = 3 이 되는 것이 맞지만, 항상 주의하셔야 할 내용은 이 식이 성립하기 위해서는 n≥2 일 때만 이라는 것입니다.
따라서, n = 1일 때는 처음의 식에 n = 1 을 대입하여 b_1 = 3+2 = 5 라는 것을 따로 생각하는 것이 맞습니다.
이 부분을 따로 구분하지 않아 틀린 답이 나오게 된 것입니다.
추가로, a_2n 에 대한 일반항이 나왔을 때, 다른 조건이 없는 상황에서
이를 n 대신 n/2 를 대입하여 일반항을 구해서는 안됩니다. 짝수번째와 홀수번째에 대한 일반항이 다른 수열일 가능성이 있기 때문입니다.
다만, 문제에서 '등차수열 a_n 에 대하여 ~' 와 같이 짝수번째 홀수번째 등에 대한 구분이 없이 적용할 수 있다는 확실한 내용이 나온다면,
그 때는 n 대신 n/2 를 대입하여 a_n에 대한 일반항을 찾아내도 괜찮습니다. |
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