고교 과정으로는 식으로 증명하는 방법 뿐이며, 좌표평면에서 확인해보면, x² + y² = r² 이라는 원에 대하여, 이 원에 접하는 직선을 y = mx + n 이라고 하면, 이를 만족시키는 연립방정식의 해가 중근을 가져야 합니다. 따라서 y = mx + n 을 원의 방정식에 대입한 x² + (mx+n)² = r² 이 중근을 가져야 하며, 정리하면, (m²+1)x² + 2mnx + n²-r² = 0 이 됩니다. 이에 대한 판별식을 생각하면, D/4 = (mn)² - (m²+1)(n²-r²) = 0 이 되어야 하며, 이를 정리하면, n = ±r√(m²+1) 이 나오게 됩니다. 이를 통해 n = r√(m²+1) 일 때의접점의 좌표를 생각하면, (m²+1)x² + 2mr√(m²+1)x + r²m² = 0 이 되고, {√(m²+1)x + rm}² = 0, x = -rm/√(m²+1) 이 되며, 이에 맞게 y좌표를 구하면, y = m×{-rm/√(m²+1)} + r√(m²+1) = r/√(m²+1) 이 됩니다. 이 때, 원의 중심인 (0,0) 과 접점인 (-rm/√(m²+1), r/√(m²+1)) 을 잇는 직선의 기울기는 -1/m 이 되며, 접선의 기울기와의 곱이 -1 이 되어 원의 접선과 해당 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이 됩니다.