삼각치환으로 풀이할 수도 있기는 합니다. 다만, 삼각치환으로 풀이하면 결국 다시 치환해야 하는 상황이 나오게 되어 조금 돌아가는 풀이가 됩니다. 삼각치환으로 풀이를 해보면, x = sinθ 라고 치환하면, dx/dθ = cosθ 가 되어, ∫x³/√(1-x²) dx = ∫(sin³θ/cosθ) cosθdθ = ∫sin³θdθ = ∫sinθ(1-cos²θ)dθ 에서, cosθ = y 로 치환하면, -sinθ = dy/dθ 가 되어, ∫sinθ(1-cos²θ)dθ = ∫(-1 + y²)dy = y³/3 - y + C 에서, x = sinθ, y = cosθ 에서, x² + y² = 1, y = √(1-x²) 에서, y³/3 - y + C = (1/3)(y² - 3)y + C = (1/3)(1-x²-3)√(1-x²) + C = -(1/3)(x²+2)√(1-x²) + C 가 됩니다. 유제의 경우에는 ∫1/x√(x²+1) dx 에서, x = tanθ 라고 하면, 1+x² = sec²θ, dx/dθ = sec²θ 이 되어, ∫1/tanθsecθ × sec²θdθ = ∫secθ/tanθ dθ = ∫1/sinθ dθ = ∫sinθ/sin²θ dθ = ∫sinθ/(1-cos²θ) dθ 에서, cosθ = y 라고 치환하면, -sinθ = dy/dθ 가 되어, ∫1/(1-y²) (-dy) = (1/2)∫{1/(y-1) - 1/(y+1)}dy = (1/2){ln|y-1| - ln|y+1|} + C = (1/2)ln|y-1|/|y+1| + C = (1/2)ln|cosθ - 1|/|cosθ +1| + C = (1/2)ln(1-cosθ)/(1+cosθ) + C = (1/2)ln(1-cosθ)²/sin²θ = ln(1-cosθ)/|sinθ| + C 에서, = (1-cosθ)/|sinθ| = (1/cosθ - 1)/|tanθ| = (secθ - 1)/|tanθ| = {√(x²+1) - 1}/|x| 이므로, 결국, ln[{√(x²+1) - 1}/|x|] + C 라는 결과가 나오게 됩니다. p.s 늦은 답변 죄송합니다.