본래 함수 라는 것은 정의역 내의 원소와 공역 내의 원소들 사이의 관계이기 때문에 y = f(x) 라는 것이 하나의 함수라기 보다는 f라는 것이 그 자체로 함수이며, 그에 대한 역함수인 f^(-1) 라는 것이 또 하나의 함수가 되는 것입니다. 그것을 직접적인 관계식을 통해 표현하기 위해서 y = f(x) 라는 하나의 식의 형태로 좌표 평면 상에서 다룰 때의 상황에서의 역함수와 실제 집합들 사이에서의 역함수를 다룰 때의 상황을 조금은 구분할 필요가 있습니다. 본래 함수 f의 역함수는 f^(-1) 가 되는데, 이를 이용하여 정의역 내의 x 값과 공역 내의 y 값의 관계를 표현하는 과정에서 y = f(x) 라는 식의 형태로 표현을 하며, 본래 함수였던 f의 정의역이 f^(-1) 의 공역이 되고, f의 공역이 f^(-1) 의 정의역이 되어, f^(-1) 의 입장에서는 y = f(x) 에서 양변에 f^(-1) 을 씌워서 f^(-1)(y) = f^(-1)(f(x)) = x 가 되어, f^(-1)(y) = x 가 된다고 할 수 있지요. 다만, 일반적으로 함수를 좌표평면에 표현할 때에는 정의역의 원소를 x로, 공역의 원소를 y로 표현하기 때문에 f의 공역이 f^(-1) 의 정의역이 되고, f의 정의역이 f^(-1) 의 공역에 된다는 것을 감안하여, 본래 공역에 있었던 원소를 x로, 정의역에 있었던 원소를 y로 생각하여 f^(-1) 에 대한 그래프를 표현하는 과정속에서 y = f^(-1)(x) 라는 관계식으로 표현하는 것이 되는 것입니다.