| [차현우] 실력편 수학(하) (2018) - 명제의 증명 |
| 산술기하평균 |
산술평균과 기하평균의 관계(이하 산기)를 통해 얻을 수 있는 부등식의 활용범위가 궁금합니다.(변변 더하는 계산, 변변 곱하는 계산 등) 유제 23-10에서 (a+b+c)(ab+bc+ca)>=9abc 를 증명할 때 (a+b+c)에 대한 산기로 부등식을 얻고 (ab+bc+ca)에 대한 산기로 부등식을 얻어 두 부등식을 변변 곱하는 풀이가 사용되었습니다. 그런데 유제 23-12의 (3)에서는 (2x+y)(8/x+1/y)의 최솟값을 구하는 문제를 동일한 방법으로 풀면 16이라는 오답이 도출됩니다. 어떤 문제 혹은 실수로 인하여 이런 상황이 일어나게 되었는지 또 부등식을 얼마나 자유롭게 활용할 수있는지 그 범위에 대해서 알려주시면 감사하겠습니다. |
유제 23-10의 문제에서는 a+b+c에 대한 코시와 ab+bc+ca에 대한 코시를 하고 둘을 곱하게 되면 우변의 항인 9abc가 도출됨을 알 수 있습니다.
이때, 등호가 성립할 때, 곧 최솟값이 성립할 때는 a=b=c일 때로 같습니다.
유제 23-12에서도 유제 23-10처럼 각각의 코시를 하고 부등식의 양변에 곱하는 풀이를 사용해 봅시다.
2x+y에 대한 코시의 등호성립조건은 y=2x일때 입니다.
8/x+1/y에 대한 코시의 등호성립조건은 x=8y일 때 입니다.
곧 각각의 두 개의 코시의 등호성립시의 x와 y에 대한 비율이 다릅니다.
결국, 좌변을 전개하고 나서 남는 16+2x/y+8y/x+1에 대한 코시를 적용해야 하는 것입니다.
이러한 실수를 범하지 않으려면 두개 이상의 코시-슈바르츠 부등식을 이용하는 상황에서는, 각 코시를 할 때에 등호성립 조건을 확인하는 습관을 기르는 것이 가장 중요할 것입니다.
만약 각각의 코시에 대한 등호성립 조건이 다르다면 전개를 하는 것이 합당한 풀이입니다.
감사합니다. |
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