| [차현우] 실력편 미적분 (2018) - 정적분의 계산 |
| 정적분에서의 삼각치환 (유제 15-6-(1)) |
정적분에서 삼각치환을 할 때 교재 273p.를 보면 '정석'부분에 세타 범위를 -ㅠ/2부터 ㅠ/2까지로 설정하라고 되어 있는데 왜 꼭 이렇게 범위를 잡아야 되는 건가요? 예를 들어서 유제 15-6-(1) 같은 경우 x를 sin(세타)로 치환하여 세타에 대한 적분식으로 만들면 적분구간이 0부터 ㅠ/6까지일 수도 있지만 0부터 5ㅠ/6까지여도 되는 것 아닌가요? (sin(세타)가 1/2일 때는 세타가 ㅠ/6과 5ㅠ/6일 때니까요.) 그런데 문제는 이렇게 하면 답이 다르던데 어떤 이유로 이 둘 중에서 0부터 ㅠ/6까지일 때만 정답으로 인정하는 건가요? |
일단 적분구간이 -π/2~π/2인 이유는 그 범위에 있어서 sinx, tanx가 일대일대응 함수이 때문에 제약이 없기 때문입니다.
그리고 π/6과 5π/6는sinx에 대입했을 때 그 값이 1/2인 것만 같을 뿐입니다.
sinx의 그래프를 보시면 0~π/6까지와 0~5π/6까지를 적분한 것은 다르기 때문에 -π/2~π/2로 치환하셔야 됩니다.
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